Utilizando uma terminologia oriunda de Curry, poderíamos dizer que o simbolismo formal fornece a apresentação dos sistemas formais. Um sistema formal é uma realidade de ordem ideal. Para dele falarmos, para comunicarmos informações a seu respeito, é preciso torná-lo apreensível através de um grafismo apropriado. Os símbolos formais têm por única função tornar assim acessível os sistemas formais numa apresentação determinada; esta, é claro, tem um caráter totalmente contingente e convencional. Ademais, é preciso distinguir o termo “apresentação” do termo “representação” e do termo “interpretação”. Uma apresentação de um sistema é um conjunto de símbolos, por meio dos quais o sistema é formulado. Uma representação de um sistema é um conjunto de entidades de que se afirmam as propriedades e relações expressas pelas sentenças verdadeiras do sistema. E uma interpretação de um sistema é uma correspondência entre as sentenças do sistema e enunciados relativos a um domínio de entidades determinadas (enunciados pelos quais obtêm-se critérios de verdade bem estabelecidos), de tal modo que todas as sentenças verdadeiras do sistema se acham assim associadas a enunciados verdadeiros. (Consideremos, por exemplo, um sistema formal, exprimindo a teoria da relação de ordenação. Às sentenças deste sistema podemos fazer corresponder enunciados da aritmética ordinária, associando a uma sentença elementar do tipo “O objeto indeterminado x está em relação R com o objeto indeterminado y” (sendo R o símbolo que designa a relação de ordenação), o enunciado aritmético “O número inteiro a é menor que o número inteiro b”. Em tal correspondência, todas as sentenças verdadeiras da teoria da relação ordinal tornam-se enunciados aritméticos verdadeiros). Como diz Curry, um sistema formal deve ser considerado como a abstração de suas apresentações, de suas representações e de suas interpretações.
Vide linguagem natural e artificial, linguagem formal
Utilizando uma terminologia oriunda de Curry, poderíamos dizer que o simbolismo formal fornece a apresentação dos sistemas formais. Um sistema formal é uma realidade de ordem ideal. Para dele falarmos, para comunicarmos informações a seu respeito, é preciso torná-lo apreensível através de um grafismo apropriado. Os símbolos formais têm por única função tornar assim acessível os sistemas formais numa apresentação determinada; esta, é claro, tem um caráter totalmente contingente e convencional. Ademais, é preciso distinguir o termo “apresentação” do termo “representação” e do termo “interpretação”. Uma apresentação de um sistema é um conjunto de símbolos, por meio dos quais o sistema é formulado. Uma representação de um sistema é um conjunto de entidades de que se afirmam as propriedades e relações expressas pelas sentenças verdadeiras do sistema. E uma interpretação de um sistema é uma correspondência entre as sentenças do sistema e enunciados relativos a um domínio de entidades determinadas (enunciados pelos quais obtêm-se critérios de verdade bem estabelecidos), de tal modo que todas as sentenças verdadeiras do sistema se acham assim associadas a enunciados verdadeiros. (Consideremos, por exemplo, um sistema formal, exprimindo a teoria da relação de ordenação. Às sentenças deste sistema podemos fazer corresponder enunciados da aritmética ordinária, associando a uma sentença elementar do tipo “O objeto indeterminado x está em relação R com o objeto indeterminado y” (sendo R o símbolo que designa a relação de ordenação), o enunciado aritmético “O número inteiro a é menor que o número inteiro b”. Em tal correspondência, todas as sentenças verdadeiras da teoria da relação ordinal tornam-se enunciados aritméticos verdadeiros). Como diz Curry, um sistema formal deve ser considerado como a abstração de suas apresentações, de suas representações e de suas interpretações.
De certo modo, poder-se-ia dizer que não há conceitos (v. conceito) em um sistema formal puro, isto é, em uma teoria inteiramente formalizada. Mas tal sistema será inutilizável se não se conhecer sua metateoria. De fato, é a metateoria de um sistema formal que nos explica como funciona o sistema, qual é, por exemplo, o tipo de dedução que ele autoriza; do mesmo modo, é a metateoria que nos indica quais as interpretações possíveis do sistema e, daí, quais as significações que podemos vincular às expressões do sistema. Ora, no estudo metateórico de um sistema, devemos introduzir conceitos que representam as entidades constitutivas do sistema (símbolos, expressões complexas, regras, figuras de dedução, etc), e suas propriedades. Assim, a não-contradição de um sistema (impossibilidade de deduzir, no sistema, quaisquer sentenças) é uma propriedade metateórica; esta propriedade é representada por um conceito de natureza metateórica.
Por outro lado, um sistema formal é praticamente desprovido de interesse enquanto não for interpretado. Toda interpretação de um sistema o coloca em relação com certo domínio de objetos, reais ou ideais. Os enunciados relativos a estes domínios se exprimem por meio de conceitos. Na maioria dos casos, para os sistemas formais até hoje estudados, as interpretações se referem a domínios lógicos ou matemáticos. Os conceitos que servem para caracterizar tais domínios referem-se a entidades ideais. No caso da lógica, trata-se do discurso e das diferentes formas de raciocínio. No caso das matemáticas, trata-se dos objetos ideais de que se ocupam precisamente as disciplinas matemáticas: números, conjuntos, estruturas algébricas, espaços, e assim por diante.
O problema que, a propósito dos conceitos, se coloca é o seguinte: deve-se dizer que os conceitos implicados nas disciplinas formais (quer se trate dos conceitos metateóricos ou dos conceitos lógicos e matemáticos que representam as expressões das linguagens formais puras) têm um papel simplesmente descritivo, ou pode-se admitir que tenham um poder explicativo? Em certa medida ao menos, parece efetivamente possível reconhecer-lhes uma força explicativa. Assim, os conceitos da lógica combinatória explicam os paradoxos. Ora, os paradoxos são situações puramente lógicas que podem ser representadas em um formalismo. A explicação consiste, neste caso, em pôr em jogo um outro formalismo que, em relação ao primeiro, é fundador. (Mais exatamente, os conceitos lógicos que ela aciona podem ser representados em um formalismo apropriado, que esclarece as situações em que se produzem paradoxos.) Naturalmente, este formalismo explicativo pode, por sua vez, apresentar situações que geram contradições, tais como os paradoxos. Para analisar tais situações e eliminar a fonte do distúrbio, dever-se-á recorrer a um terceiro nível teórico, e assim por diante. [Ladrière][Ladrière]