Los europeos tienen una opinión tan alta de su ciencia que creen en su prestigio irresistible, y se imaginan que los demás pueblos deben caer presa de admiración ante sus descubrimientos más insignificantes; este estado de espíritu, que les conduce a veces a singulares errores, no es completamente nuevo, y hemos encontrado en Leibniz   un ejemplo de él bastante divertido. Se sabe que este filósofo había concebido el proyecto de establecer lo que él llamaba una «característica universal», es decir, una suerte de álgebra generalizada, aplicable a las nociones de todo orden, en lugar de estar restringida únicamente a las cuantitativas; por lo demás, esta idea le había sido inspirada por algunos autores de la edad media, concretamente Raimond Lull   y Trithemo. Ahora bien, en el curso de los estudios que hizo para intentar realizar este proyecto, Leibniz fue llevado a preocuparse de la significación de los caracteres ideográficos que constituyen la escritura china, y más particularmente de las figuras simbólicas que forman la base del Yi-King  ; vamos a ver cómo comprendió estos últimos: «Leibniz, dice L. Couturat, creía haber encontrado por su numeración binaria (numeración que no emplea más que los signos 0 y 1, y en la que él veía una imagen de la creación ex nihilo) la interpretación de los caracteres de Fo-hi, símbolos chinos misteriosos y de una alta antigüedad, cuyo sentido no conocían ni los misioneros europeos ni los chinos mismos... Proponía emplear esa interpretación, para la propagación de la fe en China, teniendo en cuenta que era apropiada para dar a los chinos una elevada idea de la ciencia europea, y para mostrar el acuerdo de ésta con las tradiciones venerables y sagradas de la sabiduría china. Juntó esta interpretación a la exposición de su aritmética binaria que envió a la Academia de las Ciencias de París» (La Logique de Leibniz, pp. 474-475.). He aquí, en efecto, lo que leemos textualmente en la memoria de que se trata: «Lo que hay de sorprendente en este cálculo (de la aritmética binaria), es que esta aritmética por 0 y 1 se encuentra que contiene el misterio de las líneas de un antiguo rey y filósofo llamado Fohy, que se cree que vivió hace más de cuatro mil años (La fecha exacta es 3468 antes de la era Cristiana, según una cronología basada sobre la descripción precisa del estado del cielo en aquella época; agregaremos que el nombre de Fo-hi sirve en realidad de designación a todo un periodo de la historia china.), y que los chinos consideran como el fundador de su imperio y de sus ciencias. Hay varias figuras lineales que se le atribuyen, y que equivalen todas a esta aritmética; pero basta poner aquí la Figura de los ocho Cova (Koua es el nombre chino de los «trigramas», es decir, de las figuras que se obtienen juntando tres a tres, de todas las maneras posibles, trazos plenos y quebrados, que son efectivamente en número de ocho.), como se la llama, que pasa por fundamental, y adjuntarle la explicación que es manifiesta, siempre que se observe primeramente que una línea recta entera significa la unidad ó 1, y en segundo lugar que una línea quebrada significa el cero ó 0. Los chinos han perdido la significación de los Cova o Lineaciones de Fohy, quizás desde hace más de mil años, y han hecho comentarios al respecto, donde han buscado no se sabe muy bien qué sentidos lejanos, de suerte que ha sido menester que la verdadera explicación les venga ahora de los europeos. He aquí como: apenas hace más de dos años que envié a R. P. Bouvet, jesuita francés célebre, que reside en Pekín, mi manera de contar por 0 y 1, y no ha hecho falta más para hacerle reconocer que tal es la clave de las figuras de Fohy. Así, al escribirme el 14 de noviembre de 1701, me envió la gran figura de ese Príncipe Filósofo que va a 64 (Se trata aquí de los sesenta y cuatro «hexagramas» de Wen-wang, es decir, de las figuras de seis trazos formadas combinando los ocho «trigramas» dos a dos. Anotamos de pasada que la explicación de Leibniz es completamente incapaz de explicar, entre otras cosas, por qué estos «hexagramas», así como los «trigramas» de los que se derivan, se disponen siempre en un tablero de forma circular.), y que ya no deja dudas de la verdad de nuestra interpretación, de suerte que se puede decir que ese padre ha descifrado el enigma de Fohy, con la ayuda de lo que yo le había comunicado. Y como estas figuras son quizás el monumento de ciencia más antiguo que haya en el mundo, esta restitución de su sentido, después de un intervalo de tiempo tan grande, parecerá tanto más curiosa... Y este acuerdo me da una gran opinión de la profundidad de las meditaciones de Fohy. Ya que lo que nos parece fácil ahora, no lo era en absoluto en aquellos tiempos lejanos... Ahora bien, como se cree en la China que Fohy es también autor de los caracteres chinos, aunque muy alterados por el paso de los tiempos, su ensayo de aritmética hace juzgar que podría encontrarse también en él algo considerable en relación a los números y a las ideas, si se pudiera desentrañar el fundamento de la escritura china, tanto más cuanto que en la China se cree que Fohy tuvo en consideración los números al establecerla. El R. P. Bouvet se siente muy inclinado a impulsar este punto, y es muy capaz de hacerle destacar de muchas maneras. No obstante, yo no sé si ha habido nunca en la escritura china una ventaja que se acerque a lo que debe haber necesariamente en una Característica como la que yo proyecto. Así, todo razonamiento que se puede sacar de las nociones, podría sacarse de sus Caracteres por una manera de cálculo, que sería uno de los medios más importantes de ayudar al espíritu humano» (Explication de l’Arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu’elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy, Mémoires de l’Académio des Sciences, 1703: Ouvres mathématiques de Leibniz, éd. Gerhardt, t. VII, pp. 226-227. - Ver también De Dyadicis: ibid., t. VII, pp. 233-234. Ese texto termina así: «Ita mirum accidit, ut res ante ter et amplius (millia) annos nota in extremo nostri continentis oriente, nunc in extremo ejus occidente, sed melioribus ut spero auspiciis resuscitaretur. Nam non apparet, antea usum hujus characterismi ad augendam numerorum scientiam innotuisse. Sinenses vero ipsi ne Arithmeticam quidem rationem intelligentes nescio quos mysticos significatus in characteribus mere numeralibus sibi fingebant».). Hemos tenido que reproducir extensamente este curioso documento, que permite medir hasta dónde podía llegar la comprehensión de aquél que consideramos no obstante como el más «inteligente» de todos los filósofos modernos: Leibniz estaba persuadido de antemano que su «característica», que por lo demás no llegó a constituir nunca (y los «logísticos» de hoy día no están apenas más avanzados), no podría dejar de ser muy superior a la ideografía china; y lo mejor de todo, es que piensa que hace un gran honor a Fo-hi al atribuirle un «ensayo de aritmética» y la primera idea de su pequeño juego de numeración. Nos parece ver aquí la sonrisa de los chinos, si se les hubiera presentado esta interpretación un poco pueril, que habría estado muy lejos de darles «una idea elevada de la ciencia europea», pero que habría sido adecuada para hacerles apreciar muy exactamente su alcance real. La verdad es que los chinos nunca han «perdido la significación», o más bien las significaciones de los símbolos de que se trata; únicamente, no se creían obligados a explicárselos al primero que llega, sobre todo si juzgaban que eso sería un trabajo perdido; y Leibniz, al hablar de «yo no sé qué sentidos lejanos», confiesa en suma que no comprende nada. Son esos sentidos, cuidadosamente conservados por la tradición (a la que los comentarios no hacen más que seguir fielmente) los que constituyen la «verdadera explicación», y por lo demás no tienen nada de «místico»; ¿pero qué mejor prueba de incomprehensión se podría dar que tomar símbolos metafísicos por «caracteres puramente numerales»? Símbolos metafísicos, he aquí en efecto lo que son esencialmente los «trigramas» y los «hexagramas», representación sintética de teorías susceptibles de recibir desarrollos ilimitados, y susceptibles también de adaptaciones múltiples, si, en lugar de quedarse en el dominio de los principios, se quiere hacer aplicación de ellos a tal o cual orden determinado. Leibniz se habría sorprendido mucho si se le hubiera dicho que su interpretación aritmética encontraba lugar también entre esos sentidos que rechazaba sin conocerlos, pero solo en un rango completamente accesorio y subordinado; ya que esa interpretación no es falsa en sí misma, y es perfectamente compatible con todas las demás, pero es completamente incompleta e insuficiente, insignificante incluso cuando se considera aisladamente, y no puede cobrar interés más que en virtud de la correspondencia analógica que liga los sentidos inferiores al sentido superior, conformemente a lo que hemos dicho de la naturaleza de las «ciencias tradicionales». El sentido superior, es el sentido metafísico puro; todo lo demás, no son más que aplicaciones diversas, más o menos importantes, pero siempre contingentes: es así que puede haber una aplicación aritmética como hay una indefinidad de otras, como hay por ejemplo una aplicación lógica, que hubiera podido servir más al proyecto de Leibniz si éste la hubiera conocido, como hay una aplicación social, que es el fundamento del Confucionismo, como hay una aplicación astronómica, la única que los japoneses hayan podido aprehender nunca (La traducción francesa del Yi-King por Philastro (Annales du Musée Guimet, t. VIII y t. XXIII), que por otra parte es una obra extremadamente notable, tiene el defecto de considerar demasiado exclusivamente el sentido astronómico.), como hay incluso una aplicación adivinatoria, que los chinos consideran por lo demás como una de las más inferiores de todas, y cuya practica abandonan a los juglares errantes. Si Leibniz se hubiera encontrado en contacto directo con los chinos, éstos quizás le hubieran explicado (pero, ¿lo habría comprendido?) que incluso las cifras de las que se servía podían simbolizar ideas de un orden mucho más profundo que las ideas matemáticas, y que es en razón de un tal simbolismo como los números desempeñaban un papel en la formación de los ideogramas, no menos que en la expresión de las doctrinas pitagóricas (lo que muestra que estas cosas no eran ignoradas por la antigüedad occidental). Los chinos habrían podido aceptar incluso la notación por 0 y 1, y tomar estos «caracteres puramente numéricos» para representar simbólicamente las ideas metafísicas del yin y del yang (que, por lo demás, no tienen nada que ver con la concepción de la creación ex nihilo), aun con muy buenas razones para preferir, como más adecuada, la representación proporcionada por las «lineaciones» de Fo-hi, cuyo objeto propio y directo está en el dominio metafísico. Hemos desarrollado este ejemplo porque muestra claramente la diferencia que existe entre el sistematismo filosófico y la síntesis tradicional, entre la ciencia occidental y la sabiduría oriental; con este ejemplo, que tiene para nosotros, él también, un valor de símbolo, no es difícil reconocer de qué lado se encuentran la incomprehensión y la estrechez de miras (Recordaremos aquí lo que hemos dicho de la pluralidad de sentidos de todos los textos tradicionales, y especialmente de los ideogramas chinos: Introducción general al estudio de las doctrinas hindúes, 2a parte, cap. IX. - Agregaremos también esta cita tomada de Philastro: «En chino, la palabra (o el carácter) no tiene casi nunca un sentido absolutamente definido y limitado; el sentido resulta muy generalmente de la posición en la frase, pero ante todo de su empleo en tal o cual libro más antiguo y de la interpretación admitida en ese caso... La palabra no tiene valor más que por sus acepciones tradicionales» (Yi-king, 1a parte, p. 8).). Leibniz, al pretender comprender los símbolos chinos mejor que los chinos mismos, es un verdadero precursor de los orientalistas, que tienen, los alemanes sobre todo, la misma pretensión respecto a todas las concepciones y a todas las doctrinas orientales, y que se niegan totalmente a tener en cuenta el punto de vista de los representantes autorizados de esas doctrinas: hemos citado en otra parte el caso de Deussen imaginándose explicar Sankara   a los hindúes, e interpretándole a través de las ideas de Schopenhauer  ; éstas son manifestaciones propias de una sola y misma mentalidad. 5731 Oriente y Occidente LA SUPERSTICIÓN DE LA CIENCIA

Debemos hacer observar que hace un momento hemos dicho, no sólo «concebir un infinito cuantitativo», sino «concebir el Infinito cuantitativamente», y esto requiere algunas palabras de explicación: con eso hemos querido hacer alusión más particularmente a aquellos que, en la jerga filosófica contemporánea, se llaman los «infinitistas»; en efecto, todas las discusiones entre «finitistas» e «infinitistas» muestran claramente que los unos y los otros tienen al menos en común esta idea completamente falsa de que el Infinito metafísico es solidario del infinito matemático, si es que incluso no se identifica con él pura y simplemente (Aquí citaremos sólo, como ejemplo característico, el caso de L. Couturat que concluye su tesis De l’infini mathématique, en la que se ha esforzado en probar la existencia de un infinito de número y de magnitud, declarando que su intención en eso ha sido mostrar que, ¡«a pesar del neocriticismo (es decir, de las teorías de Renouvier y de su escuela), es probable una metafísica infinitista»! ). Así pues, todos ignoran igualmente los principios más elementales de la metafísica, puesto que es al contrario la concepción misma del verdadero Infinito metafísico la única que permite rechazar de una manera absoluta todo «infinito particular», si puede se expresar así, tal como el pretendido infinito cuantitativo, y estar seguro de antemano de que, por todas partes donde se le encuentre, no puede ser más que una ilusión, a cuyo respecto ya no habrá más que preguntarse lo que ha podido darle nacimiento, a fin de poder sustituirla por otra noción más conforme a la verdad. En suma, toda vez que se trate de una cosa particular, de una posibilidad determinada, por eso mismo estamos ciertos a priori de que es limitada, y, podemos decir, limitada por su naturaleza misma, y esto permanece igualmente verdadero en el caso donde, por una razón cualquiera, no podamos alcanzar actualmente sus límites; pero es precisamente esta imposibilidad de alcanzar los límites de algunas cosas, e incluso a veces de concebirlos claramente, la que causa, al menos en aquellos a quienes les falta el principio metafísico, la ilusión de que esas cosas no tienen límites, y, lo repetimos aún, es esta ilusión, y nada más, la que se formula en la afirmación contradictoria de un «infinito determinado». 5882 Los principios del cálculo infinitesimal INFINITO E INDEFINIDO

Si hay un punto sobre el cual todo el mundo puede en suma ponerse de acuerdo fácilmente, incluso sin profundizar más las cuestiones de principios, es que la noción de indefinidamente pequeño, desde el punto de vista puramente matemático al menos, basta perfectamente para el análisis   infinitesimal, y los «infinitistas» mismos lo reconocen sin gran esfuerzo (Ver concretamente L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 265, nota: «Se puede constituir lógicamente el cálculo infinitesimal únicamente sobre la noción de lo indefinido...» - Es cierto que el empleo de la palabra «lógicamente» implica aquí una reserva, ya que, para el autor, se opone a «racionalmente», lo que, por lo demás, es una terminología bastante extraña; la confesión no es menos interesante de retener por ello. ). Así pues, a este respecto, uno puede atenerse a una definición como la de Carnot: «¿Qué es una cantidad llamada infinitamente pequeña en matemáticas? Nada más que una cantidad que se puede hacer tan pequeña como se quiera, sin que se esté obligado por eso a hacer variar aquellas cuya relación se busca» (Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, p. 7, nota; ibid., p. 20. - El título de esta obra está muy poco justificado, ya que, en realidad, no se encuentra en ella la menor idea de orden metafísico. ). Pero, en lo que concierne a la significación verdadera de las cantidades infinitesimales, toda la cuestión no se limita a eso: para el cálculo, importa poco que los infinitamente pequeños no sean más que ficciones, puesto que uno puede contentarse con la consideración de los indefinidamente pequeños, que no plantea ninguna dificultad lógica; y, por lo demás, desde que, por las razones metafísicas que hemos expuesto al comienzo, no podemos admitir un infinito cuantitativo, ya sea un infinito de magnitud o de pequeñez (La celebérrima concepción de los «dos infinitos» de Pascal   es metafísicamente absurda, y no es más que el resultado de una confusión del infinito con lo indefinido, donde se toma éste en los dos sentidos opuestos de las magnitudes crecientes y decrecientes. ), ni ningún infinito de un orden determinado y relativo cualquiera, es muy cierto que no pueden ser en efecto más que ficciones y nada más; pero, si estas ficciones han sido introducidas, con razón o sin ella, en el origen   del cálculo infinitesimal, es porque, en la intención de Leibniz, debían corresponder no obstante a algo, por defectuosa que sea la manera en que lo expresaban. Puesto que es de los principios de lo que nos ocupamos aquí, y no de un procedimiento de cálculo reducido en cierto modo a sí mismo, lo que carecería de interés para nós, debemos preguntarnos pues, cuál es justamente el valor de esas ficciones, no sólo desde el punto de vista lógico, sino también desde el punto de vista ontológico, si están tan «bien fundadas» como lo creía Leibniz, y si podemos decir con él que son «toleranter verae» y aceptarlas al menos como tales, «modo sano sensu intelligantur»; para responder a estas cuestiones, nos será menester examinar más de cerca su concepción de la «ley de continuidad», puesto que es en ésta donde Leibniz pensaba encontrar el «fundamentum in re» de los infinitamente pequeños. 5930 Los principios del cálculo infinitesimal LAS «FICCIONES BIEN FUNDADAS»

Del mismo modo, desde otro punto de vista, y pasando a la consideración del discontinuo, podemos decir que, si se nos da una serie numérica indefinida, eso no implica de ninguna manera que se nos den distintamente todos los términos que comprende, lo que es una imposibilidad por eso mismo de que es indefinida; en realidad, dar una tal serie, es simplemente dar la ley que permite calcular el término que ocupa en la serie un rango determinado cualquiera que sea (Cf. L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 467: «La sucesión natural de los números se da toda entera por su ley de formación, así como, por lo demás, todas las demás sucesiones y series infinitas, a las que una fórmula de recurrencia basta, en general, para definir enteramente, de tal suerte que su límite o su suma (cuando existe) se encuentra por eso completamente determinado... Es gracias a la ley de formación de la sucesión natural por lo que nosotros tenemos la idea de todos los números enteros, y en este sentido se dan todos juntos en esa ley». - Se puede decir en efecto que la fórmula general que expresa el término ne de una serie contiene potencial e implícitamente, pero no efectiva y distintamente, todos los términos de esta serie, puesto que se puede sacar de ella uno cualquiera de entre ellos dando a n el valor correspondiente al rango que este término debe ocupar en la serie; pero, contrariamente a lo que pensaba L. Couturat, eso no es ciertamente lo que quería decir Leibniz «cuando sostenía la infinitud efectiva de la sucesión natural de los números». ). Si Leibniz hubiera dado esta respuesta a Bernoulli, su discusión sobre la existencia del «terminus infinitesimus» habría acabado inmediatamente por eso mismo; pero no habría podido responder así sin ser llevado lógicamente a renunciar a su idea de la «división efectiva», a menos de negar toda correlación entre el modo continuo de la cantidad y su modo discontinuo. 5950 Los principios del cálculo infinitesimal «DIVISIÓN AL INFINITO» O DIVISIBILIDAD INDEFINIDA

Desde que existe el continuo, podemos decir con Leibniz que hay continuidad en la naturaleza, o, si se quiere, que debe haber en ella una cierta «ley de continuidad» que se aplica a todo lo que presenta los caracteres del continuo; eso es en suma evidente, pero de ello no resulta en modo alguno que una tal ley deba ser aplicable a todo como él lo pretende, ya que, si hay continuo, hay también discontinuo, y eso, incluso en el dominio de la cantidad (Cf. L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 140: «En general, el principio de continuidad no tiene sitio en álgebra, y no puede ser invocado para justificar la generalización algebraica del número. La continuidad no solo no es en modo alguno necesaria para las especulaciones de la aritmética general, sino que repugna al espíritu de esta ciencia y a la naturaleza misma del número. El número, en efecto, es esencialmente discontinuo, así como casi todas sus propiedades aritméticas... Por consiguiente, no se puede imponer la continuidad a las funciones algebraicas, por complicadas que sean, puesto que el número entero, que proporciona todos sus elementos, es discontinuo, y "salta" en cierto modo de un valor a otro sin transición posible». ): el número, en efecto, es esencialmente discontinuo, y es incluso esta cantidad discontinua, y no la cantidad continua, la que es realmente, como lo hemos dicho en otra parte, el modo primero y fundamental de la cantidad, o lo que se podría llamar propiamente la cantidad pura (Ver El Reino de la Cantidad y los Signos de los Tiempos, cap. II. ). Por otra parte, nada permite suponer a priori que, fuera de la cantidad, no pueda considerarse por todas partes una continuidad cualquiera, e incluso, a decir verdad, sería muy sorprendente que solo el número, entre todas las cosas posibles, tuviera la propiedad de ser esencialmente discontinuo; pero nuestra intención no es buscar aquí en qué límites es verdaderamente aplicable una «ley de continuidad», y qué restricciones convendría aportarle para todo lo que rebasa el dominio de la cantidad entendida en su sentido más general. En lo que concierne a los fenómenos naturales, nos limitaremos a dar un ejemplo muy simple de discontinuidad: si es menester una cierta fuerza para romper una cuerda, y si se aplica a esa cuerda una fuerza cuya intensidad sea menor que esa, no se obtendrá una ruptura parcial, es decir, de una parte de los hilos que componen la cuerda, sino sólo una tensión, lo que es completamente diferente; si se aumenta la fuerza de una manera continua, la tensión crecerá primero también de una manera continua, pero llegará un momento en que se producirá la ruptura, y entonces, de una manera súbita y en cierto modo instantánea, se tendrá un efecto de una naturaleza completamente diferente del precedente, lo que implica manifiestamente una discontinuidad; y así no es verdadero decir, en términos enteramente generales y sin restricciones de ningún tipo, que «natura non facit saltus». 5976 Los principios del cálculo infinitesimal LA «LEY DE CONTINUIDAD»

Sea como sea, basta en todo caso que las magnitudes geométricas sean continuas, como lo son en efecto, para que siempre se puedan tomar de ellas elementos tan pequeños como se quiera, y, por consiguiente, que pueden devenir más pequeños que toda magnitud asignable; y como lo dice Leibniz, «es sin duda en eso en lo que consiste la demostración rigurosa del cálculo infinitesimal», que se aplica precisamente a estas magnitudes geométricas. Así pues, la «ley de continuidad» puede ser el «fundamentun in re» de esas ficciones que son las cantidades infinitesimales, así como también de esas otras ficciones que son las raíces imaginarias, puesto que Leibniz hace una aproximación entre las unas y las otras bajo esta relación, sin que por eso sea menester ver ahí, como quizás lo hubiera querido él, «la piedra de toque de toda verdad» (L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 266. ). Por otra parte, si se admite una «ley de continuidad», aunque se hagan algunas restricciones sobre su alcance, e incluso si se reconoce que esta ley puede servir para justificar las bases del cálculo infinitesimal, «modo sano sensu intelligantur», de ahí no se sigue en modo alguno que se deba concebir exactamente como lo hacía Leibniz, ni aceptar todas las consecuencias que él mismo pretendía sacar de ella; es esta concepción y sus consecuencias lo que nos es menester examinar ahora un poco más de cerca. 5977 Los principios del cálculo infinitesimal LA «LEY DE CONTINUIDAD»

La noción del límite es una de las más importantes que tengamos que examinar aquí, ya que es de ella de quien depende todo el valor del método infinitesimal bajo el aspecto del rigor; incluso se ha podido llegar hasta decir que, en definitiva, «todo el cálculo infinitesimal reposa únicamente sobre la noción de límite, ya que es precisamente esta noción rigurosa la que sirve para definir y para justificar todos los símbolos y todas las fórmulas del cálculo infinitesimal» (L. Couturat, De l’infini mathématique, Introducción, p. XXIII. ). En efecto, el objeto de este cálculo «se reduce a calcular límites de relaciones y límites de sumas, es decir, a encontrar los valores fijos hacia los cuales convergen relaciones o sumas de cantidades variables, a medida que éstas decrecen indefinidamente según una ley dada» (Ch. de Freycinet, De l’Analyse infinitésimale, Prefacio, p. VIII. ). Para más precisión todavía, diremos que, de las dos ramas en las que se divide el cálculo infinitesimal, el cálculo diferencial consiste en calcular los límites de relaciones cuyos dos términos van simultáneamente decreciendo indefinidamente según una cierta ley, de tal manera que la relación misma conserva siempre un valor finito y determinado; y el cálculo integral consiste en calcular los límites de sumas de elementos cuya multitud crece indefinidamente al mismo tiempo que el valor de cada uno de ellos decrece indefinidamente, ya que es menester que estas dos condiciones estén reunidas para que la suma misma permanezca siempre una cantidad finita y determinada. Dicho esto, de una manera general, se puede decir que el límite de una cantidad variable es otra cantidad considerada como fija, cantidad a la que la cantidad variable se supone que se aproxima, por los valores que toma sucesivamente en el curso de su variación, hasta diferir de ella tan poco como se quiera, o, en otros términos, hasta que la diferencia de estas dos cantidades deviene más pequeña que toda cantidad asignable. El punto sobre el que debemos insistir muy particularmente, por razones que se comprenderán mejor después, es que el límite se concibe esencialmente como un cantidad fija y determinada; aunque no estuviera dada por las condiciones del problema, se deberá comenzar siempre por suponerla un valor determinado, y continuar considerándola como fija hasta el fin del cálculo. 5985 Los principios del cálculo infinitesimal LA NOCIÓN DEL LÍMITE

Pero una cosa es la concepción del límite en sí mismo, y otra la justificación lógica del «paso al límite»; Leibniz estimaba que lo que justifica en general este «paso al límite», es que la misma relación que existe entre varias magnitudes variables subsiste entre sus límites fijos, cuando sus variaciones son continuas, ya que entonces alcanzan en efecto sus límites respectivos; eso es otro enunciado del «principio de continuidad» (L. Couturat, De l’infini mathématique, p. 268, nota. - Es el punto de vista que expone concretamente en la Justification du Calcul des infinitésimales par celui de l’Albèbre ordinaire.). Pero toda la cuestión es saber precisamente si la cantidad variable, que se aproxima indefinidamente a su límite, y que, por consiguiente, puede diferir de él tan poco como se quiera, según la definición misma de límite, puede alcanzar efectivamente ese límite, por una consecuencia de su variación misma, es decir, si el límite puede ser concebido como el último término de una variación continua. Veremos que, en realidad, esta solución es inaceptable; por el momento, diremos solamente, sin perjuicio de volver sobre ello un poco más adelante, que la verdadera noción de la continuidad no permite considerar las cantidades infinitesimales como pudiendo igualarse nunca a cero, ya que entonces dejarían de ser cantidades; ahora bien, para Leibniz mismo, deben guardar siempre el carácter de verdaderas cantidades, y eso incluso cuando se las considera como «evanescentes». Así pues, una diferencia infinitesimal no podrá ser nunca rigurosamente nula; por consiguiente, una variable, en tanto que se considere como tal, diferirá siempre realmente de su límite, y no podría alcanzarle sin perder por eso mismo su carácter de variable. 5986 Los principios del cálculo infinitesimal LA NOCIÓN DEL LÍMITE