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L’applicabilité des mathématiques aux sciences sociales

Ladrière: Modelos Matemáticos e Ciências Sociais

quinta-feira 28 de outubro de 2021, por Cardoso de Castro

Exposição feita na École Pratique des Hautes Études, Direction d’Études, do professor François Perroux, e publicada sob o título original francês. "L’applicabilité des mathématiques aux sciences sociales", em Économies et Sociétés (Cahiers de l’Institut de Science Économique Appliquée, Laboratoire du Collège de France associe au C.N.R.S.) Série H.S. n. 14, 1972, pp. 1511-1548.

Uma parte importante dos trabalhos do Instituto de Ciência Econômica Aplicada versa sobre a construção de modelos matemáticos para o domínio dos fenômenos econômicos. O que, sem dúvida, caracteriza antes de mais nada a orientação do Instituto é sua preocupação em superar o ponto de vista puramente formal, em confrontar incansavelmente, de maneira crítica, a construção dos modelos e a apreensão correta da realidade. Essa preocupação leva-o a colocar em evidência as insuficiências dos modelos clássicos e a elaborar modelos novos, que parecem mais adequados na medida em que levam em conta os efeitos de agregação, de assimetria, de heterogeneidade, logo os fenômenos do poder, da dominação, da desigualdade, assim como os fenômenos de polaridade, que já foram há muito focalizados na obra de F  . Perroux. É com o objetivo de me inscrever, pelo menos de maneira aproximada, na perspectiva que orienta os trabalhos deste seminário que me permiti sugerir, como tema dessa palestra, "a aplicabilidade das matemáticas às ciências sociais".

Sabemos que as matemáticas constituem um instrumento de análise privilegiado. Mas também percebemos que seu emprego, para ser judicioso, supõe uma crítica atenta das operações praticadas. Isso nos leva a colocar, do ponto de vista epistemológico, duas questões fundamentais: de uma parte, como explicar e eventualmente justificar a aplicabilidade das matemáticas à realidade social e, de outra parte, qual o alcance de sua utilização, qual precisamente o ganho epistêmico que nos proporcionam?

Para examinar esse duplo problema, teremos de percorrer três etapas:

1) Deveremos primeiramente nos interrogar a respeito da natureza das matemáticas, de seu nível de realidade.

2) Deveremos em seguida nos perguntar como funciona o modelo, que constitui o elemento mediador e assegura a passagem entre a representação matemática propriamente dita e a realidade social.

3) E, finalmente, deveremos nos esforçar por determinar as condições de validez da representação por meio de modelos.

 A. A natureza das matemáticas e seu nível de realidade

O problema da natureza das matemáticas pode, e sem dúvida deve ser abordado em diferentes perspectivas. Há a perspectiva histórica, que é esclarecedora, pois nos permite apreender as matemáticas em seu dinamismo interno e assim nos mostra que a realidade matemática é uma realidade em devir. Há a perspectiva fundacional, que está ligada a preocupações de natureza lógica, ao cuidado com o rigor, ao projeto que visa destacar os conceitos fundamentais, reconstituir os procedimentos demonstrativos, fornecer-lhe justificativas e dar uma forma precisa aos critérios de existência. Há a perspectiva das aplicações, que permite situar as matemáticas em sua relação com o mundo real e com o domínio das ações humanas.

Para os nossos objetivos, será suficiente reter a perspectiva do devir e a das aplicações, pois os problemas de coerência interna, de organização, de estrutura conceptual só temi uma incidência indireta e derivada sobre nossa problemática. Essas duas perspectivas colocam-nos em presença de duas características fundamentais das matemáticas, que revelam, ambas, algo de sua natureza, e as quais toda tentativa de compreensão das matemáticas deve necessariamente estar em condições de explicar.

Primeiramente, há o devir. O que temos em mente aqui não são de modo algum as circunstâncias exteriores que marcaram o desenvolvimento histórico das matemáticas, o jogo das influências e das analogias, o peso dos problemas, o papel das personalidades criadoras, mas unicamente o aspecto interno do desenvolvimento. Certamente, podemos descobrir a origem da especulação matemática na percepção e na ação. E, de outro lado, há uma ligação evidente entre o desenvolvimento das teorias matemáticas e o aparecimento dos problemas levantados pelas ciências empíricas ou impostos pela amplificação dos sistemas de ação. Mas o verdadeiro devir das matemáticas é endógeno. Ele corresponde a uma exigência interna de superação, que está inscrita em cada momento teórico e se manifesta nas operações de tematização, de abstração, de generalização, de síntese, que marcam a gênese das novas teorias. Os atos criadores limitam-se a reconhecer essa exigência e lhe dão os meios de se tornar operante. Poderíamos, pois, dizer que as matemáticas se produzem a si mesmas. Poderíamos mesmo sugerir, indo um pouco mais longe, que elas são, num sentido, o processo de sua auto-produção. Havia um pouco dessa ideia no intuicionismo, na medida em que este dirigia sua atenção essencialmente para os procedimentos de engendramento. Mas o intuicionismo deu a essa ideia uma versão subjetivista, ao ligar a produção das entidades matemáticas à atividade de um sujeito. Para o intuicionismo, as matemáticas são apenas a tematização, aliás sempre provisória, da atividade do pensamento, sendo> que esta é considerada em sua estrutura dinâmica formal, na medida em que se desdobra, num meio de livre criação, a partir do acontecimento originário da explosão sintetizante da unidade. É preciso reintegrar a atividade produtora no interior das próprias matemáticas. Se ficarmos atentos para esse aspecto das matemáticas, perceberemos que não é possível caracterizá-las como a descrição de um domínio de objetos previamente colocados diante do olhar do espírito. Está certo que há entidades matemáticas, existindo por sua própria conta num campo específico de existência, mas elas são engendradas e é seu engendramento que constitui o momento decisivo.

De outra parte, há a relação dos seres matemáticos com a realidade empírica, é preciso considerá-la inicialmente como um fato, sem se preocupar com as interpretações eventuais, nem, a fortiori, com as motivações que puderam atuar historicamente para sugerir a utilização das matemáticas no estudo do real. Essas motivações podem ser inteiramente desprovidas de pertinência. O que é preciso reter é a fecundidade do instrumento matemático, isto é, seu poder explicativo, preditivo e antecipador. Essa fecundidade faz pressentir que, entre o real matemático e o real empírico, deve haver uma correspondência secreta. Como explicá-la: pela arquitetura do mundo, pelas leis   do conhecimento ou pela estrutura da ação? Cada um desses três pontos de vista tem sua justificativa, sob certo aspecto. Há como que uma harmonia preestabelecida entre as matemáticas e a realidade concreta, e essa harmonia vem apenas tornar manifesto um caráter intrínseco do real, o modo matemático de sua organização. De outro ponto de vista, as matemáticas poderiam exprimir condições a priori do conhecimento, condições que devem necessariamente intervir na constituição de todo objeto de conhecimento. E, finalmente, elas poderiam representar as diferentes modalidades possíveis de nossas manipulações, desenhando assim os esquemas de nossas ações possíveis. Uma interpretação adequada deveria explicar esses diferentes aspectos ao mesmo tempo.

Quais são as sugestões de que dispomos? Deixando aqui de lado as controvérsias propriamente filosóficas sobre a parcela de verdade que pode haver nas diferentes variedades do platonismo, do nominalismo ou do construtivismo, poderíamos contentar-nos em evocar dois conceitos que nos são fornecidos pelo próprio saber lógico-matemático: o conceito de sistema formal e o conceito de estrutura. Ambos servem, cada um à sua maneira, para articular uma visão das matemáticas que provém do que se convencionou chamar de ponto de vista formalista.

Podemos caracterizar as matemáticas dizendo que elas constituem a ciência dos sistemas formais. Um sistema formal é uma figura abstrata que consiste em possibilidades de dedução. Mais exatamente, é um dispositivo que permite engendrar uma certa classe, geralmente infinita, de proposições, no quadro de uma linguagem previamente especificada. As regras de formação da linguagem-quadro permitem formar expressões a partir de um alfabeto e, em particular, formar expressões que têm o estatuto de proposições, isto é, que são susceptíveis, num sentido intuitivo, de exprimir estados de coisas e, por conseguinte, de serem verdadeiras ou falsas. O sistema formal proporciona os meios1 para isolar, dentre as proposições da linguagem, as que formarão a classe das proposições verdadeiras. Se tomarmos a noção de sistema formal no sentido clássico, o procedimento de engendramento das proposições verdadeiras deverá ter um caráter efetivo. (Por exemplo, no caso de um sistema formulado sob forma axiomática, devemos poder reconhecer efetivamente se uma proposição dada é um axioma e se uma série de proposições dada é um caso de aplicação de uma regra de dedução.)

Para ser compreensível concretamente, um sistema formal deve ser apresentado de uma certa maneira. Mais exatamente, devemos dispor de nomes designando as entidades formais por meio das quais são constituídas as proposições do sistema. Por outro lado, um sistema formal pode dar lugar a um certo número de representações: pode-se coordenar às entidades formais, que desempenham o papel de objetos no sistema, entidades de uma espécie dada, concretas ou ideais. As proposições puramente formais do sistema convertem-se então em proposições que enunciam certas relações entre essas entidades. Finalmente, um sistema formal pode dar lugar a diversas interpretações: pode-se coordenar às proposições da linguagem-quadro proposições versando sobre um universo definido (um conjunto dado de indivíduos de uma espécie determinada), e isso de tal maneira que às proposições verdadeiras do sistema, isto é, aos teoremas, correspondam proposições verdadeiras para o universo considerado. Segundo a concepção defendida por H. Curry, um sistema formal é a abstração de suas apresentações, de suas representações e de suas interpretações. Em outras palavras, é o conjunto das possibilidades que se encontram por trás de todas as exemplificações que se poderão dar, quer simplesmente sob a forma de um sistema de nomes ou de inscrições, quer sob a forma de objetos, quer sob a forma de um sistema de enunciados. Ele é, pois, uma realidade puramente abstrata, que no entanto só se pode realmente apreender através da variedade de suas apresentações, de suas representações e de suas interpretações, isto é, através do campo dos possíveis, do qual ela constitui como que a lei geral.

Pode-se assim caracterizar as matemáticas como o estudo das estruturas. Uma estrutura é também uma realidade abstrata, que se pode descrever numa linguagem conjuntista, utilizando, à maneira de Bourbaki, uma escala de conjuntos. Um dos mais simples exemplos é oferecido pela estrutura de ordem, que se pode definir a partir da relação de ordem. Uma estrutura de ordem é o tipo de estrutura que se pode impor a um conjunto pela introdução de urna relação de ordem entre os elementos desse conjunto. Podemos representar uma relação de ordem, definida sobre um certo conjunto, como uma certa parte do produto cartesiano desse conjunto consigo mesmo e, portanto, como um certo elemento do conjunto das partes desse produto cartesiano. Mas pouco importa, no fundo, a linguagem utilizada. O ponto essencial é que uma estrutura é apresentada como relativa a um certo suporte, mas a um suporte que fica de certa maneira indeterminado, que, em todo caso, não intervém enquanto tal na definição da própria estrutura. Assim, presumimos que a relação de ordem ordene os elementos de um1 certo conjunto, mas a natureza desse conjunto não desempenha nenhum papel na ideia da ordem mesma. Correlativamente, uma estrutura de ordem, enquanto estrutura, tem seu sentido, abstração feita do conjunto que ela organiza. A independência da estrutura relativamente a seu suporte mostra-se muito bem, aliás, no* caso das estruturas multivalentes, que podem ser realizadas sobre suportes de cardinalidades diferentes.

Encontramos, pois, dos dois lados, a mesma ideia: a abstração relativamente às realizações. De resto, a ligação entre as duas noções é muito estreita, já que uma estrutura deve ser caracterizada por axiomas e já que a teoria de uma estrutura, isto é, o conjunto das proposições verdadeiras da estrutura, constitui um sistema formal. A única diferença é que a abordagem através do sistema formal dá ênfase aos aspectos linguísticos e lógicos do procedimento, ao passo que a abordagem pela estrutura sugere a existência de uma realidade objetiva que o sistema apenas caracteriza por intermédio de uma certa linguagem.

Essa característica de abstração poderá ser precisada graças à introdução da noção de modelo, ou de interpretação, de que já se falou aliás. O termo "modelo" é utilizado aqui no sentido dos lógicos: nós o reencontraremos mais adiante no mesmo sentido, mas não na mesma função, a propósito das representações matemáticas da realidade social. Para introduzir essa noção de modelo de maneira razoavelmente precisa, será útil introduzir inicialmente a noção de "campo de interpretação relativo a um sistema formal" ou, o que dá no mesmo, de "campo de interpretação relativo a uma estrutura dada". Um campo de interpretação é um universo provido de certas propriedades, isto é, um conjunto de objetos desempenhando o papel de indivíduos, provido de propriedades de diferentes níveis (propriedades de indivíduos a um, dois, três, . . ., n argumentos, propriedades de propriedades, etc). Pode-se estabelecer uma correspondência entre um sistema formal e um campo de interpretação da seguinte; maneira. O sistema comporta variáveis para indivíduos e predicados de diferentes níveis. As variáveis são consideradas como capazes de assumir seus valores no universo do campo. Os predicados, de seu lado, são colocados em relação comi propriedades do campo, isto é, em suma, com sub-conjuntos do universo (para os predicados de indivíduos de um argumento), subconjuntos do conjunto-produto do universo por si mesmo (para os predicados de indivíduos a dois argumentos), e assim por diante. Nessas condições, toda proposição do sistema poderá se traduzir por um enunciado de estilo conjuntista relativo ao campo. Seja por exemplo a proposição: "Há um x que tem a propriedade P". Ela será traduzida pelo enunciado: "O sub-conjunto correspondente ao predicado P não é vazio". Dado um sistema formal, um campo de interpretação constituirá um modelo desse sistema para uma correspondência dada se, mediante essa correspondência, todo teorema do sistema se tornar uma proposição verdadeira para o campo.

Em suma, um modelo é uma espécie de realização concreta do sistema (ou da estrutura por ele caracterizada). Ele mostra a estrutura, dando-lhe por assim dizer um corpo para se manifestar. Mas, como já recordamos ao evocar as estruturas multivalentes, ele não é, em geral, determinado de maneira unívoca. Há sistemas formais não categóricos, isto é, que admitem modelos que não são isomorfos entre si. Portanto, há, em geral, várias maneiras de exibir uma estrutura.

Poderíamos dizer que, em princípio, o modelo é mais rico que a estrutura que deixa ver. Por isso, esta pode se realizar em outros modelos que, juntamente com a estrutura que têm em comum com o modelo proposto inicialmente, têm outras propriedades, isto é, realizam outras estruturas. Assim, os axiomas de Peano descrevem uma certa estrutura. Esta realiza-se no campo de interpretação constituído pelos números inteiros, providos da relação de ordenação que os caracteriza, mas pode também se realizar em campos de interpretação que não têm o mesmo tipo de ordem que o conjunto dos números inteiros.

Observemos, no entanto, o seguinte: se bem que o modelo tenha, relativamente ao sistema propriamente dito, um caráter concreto, ele próprio é um objeto de ordem ideal. Ele não é construído a partir de objetos percebidos, mas através de procedimentos que são em última análise homogêneos aos que permitem definir estruturas abstratas. Simplesmente, eles representam um nível menos elevado de abstração. Mas os modelos pertencem ao domínio das matemáticas do mesmo modo que as estruturas.

Essa relação existente entre o sistema formal, ou a estrutura, e o modelo ilustra uma dualidade que parece caraterística dos seres matemáticos: a dualidade da estrutura e do objeto. Por um lado, há formas puras, que são definidas independentemente de seus suportes. Por outro lado, há objetos, que se apresentam como entidades concretas, dotadas de propriedades susceptíveis de serem submetidas a certas operações, reagrupadas em conjuntos etc. Assim, fala-se em estruturas algébricas. Mas, de um outro ponto de vista, lidamos com os números inteiros, com o conjunto dos números inteiros, com as funções de variáveis reais, com o conjunto das funções contínuas etc. A dualidade em questão é, no entanto, puramente relativa. Toda estrutura pode tornar-se um objeto, e todo objeto pode ser caracterizado em termos de estrutura. Assim, o conjunto dos números reais pode ser definido como um conjunto provido de uma estrutura de ordem e de certas estruturas algébricas e topológicas devidamente compatibilizadas entre si. A dualidade significa apenas que uma estrutura deve sempre ser referida a seu suporte, mas é de si mesma independente de todo suporte.

Há, pois, como que uma tensão na matemática entre dois movimentos contraditórios: a abstração e a concretização. O ser matemático não é uma entidade imóvel, ele é a relação desses dois movimentos, sendo, pois, ele próprio, movimento, passagem, autonomização da forma, mas; ao mesmo tempo possibilidade de aplicações indefinidamente variadas. A forma, ao se tornar autônoma, guarda dentro de si, por assim dizer, todas as suas virtualidades de realização. O movimento ascensional, que dá a forma, assume em si o movimento de projeção que faz explodir a forma em seus diferentes campos de manifestação. A projeção não é apenas o inverso da abstração ascendente: em geral, a conquista da forma alarga consideravelmente o domínio dos campos possíveis de realização. Foi por um único caminho, ou no máximo por alguns, que nos elevamos em direção à estrutura. Esta, uma vez apreendida, faz com que se descubra uma multidão insuspeitada de concretizações admissíveis. A formalização, isto é, a subida em direção à forma, é, pois, uma síntese criadora: ela não é simplesmente o ato de reunir o que já é conhecido, mas a abertura de um domínio ramificado de realizações. Ela antecipa aquilo de que é a síntese, ela enuncia de antemão suas realizações. Neste sentido, ela é verdadeiramente a priori.

Feitas essas precisões, podemos voltar aos dois aspectos que havíamos retido ao começar: o auto-engendramento e a aplicabilidade. À luz do que acabamos de dizer, podemos caracterizar o auto-engendramento do ser matemático a partir da relação movediça da estrutura com o suporte. De um lado, é sempre possível destacar uma estrutura do objeto no qual ela está realizada e que lhe serve de suporte. De outro lado, e simetricamente, é sempre possível tematizar uma estrutura, constituí-la em objeto e assim dela fazer o suporte de uma outra estrutura. O estudo dos números reais, por exemplo, leva à evidenciação da topologia dos intervalos abertos, que será ela própria o ponto de partida de generalizações sucessivas que levam aos conceitos fundamentais da topologia geral. Em sentido inverso, pode-se invocar o exemplo da teoria dos números ordinais. A estrutura de ordem está de alguma maneira objectificada sob a forma do conjunto dos ordinais, por intermédio da relação de similaridade ordinal que permite construir, na família de todos os conjuntos bem ordenados, classes de equivalência formadas de conjuntos que têm o mesmo tipo de ordem. Esse conjunto, por sua vez, pode ser provido de uma estrutura de ordem e assim servir de base à teoria geral dos números cardinais. Em todos esses processos, não há intervenção exterior, mas apenas a aplicação dos recursos imanentes aos próprios objetos matemáticos.

Quanto à aplicabilidade, podemos também facilmente explicá-la invocando a relação da estrutura com seu suporte. A estrutura envolve suas exemplificações, ela contém de antemão sua relação com universos cujos objetos verificam as propriedades formais que a constituem como tal. O modelo, no sentido que foi recordado, é ele próprio a representação formal de semelhante relação. Ele apresenta uma espécie de pseudo-universo, que é suficiente para tornar apreensível a estrutura, mas que é ele próprio uma figura ideal apenas. Os elementos do modelo que desempenham o papel de indivíduos aparecem, no entanto, como entidades portadoras de propriedades, mantendo entre si relações determinadas, e susceptíveis de se prestarem a certas operações. Num sentido, o modelo é irreal e, no entanto, em sua organização formal, imita o mundo real. Pressentimos que é por intermédio do modelo que a realidade propriamente matemática poderá ser colocada em relação com a realidade da experiência perceptiva e da práxis.

Vemos, por conseguinte, que o domínio matemático é um domínio constituído de formas que contêm em si suas relações com suportes possíveis, de formas que estão de algum modo providas de diversas possibilidades de ancoragem. Elas as contêm não da maneira pela qual um conceito subsume em si os casos particulares, mas à maneira de uma essência que habita e anima do interior as entidades nas quais se atualiza. Ela própria está contida nas entidades que de antemão contém. A relação é, portanto, circular. Por isso, não nos encontramos aqui diante da simples oposição entre uma forma e um conteúdo, pois a forma matemática é ela própria conteúdo e o conteúdo é ele próprio forma. Mas, enquanto forma, o ser matemático é exigência de realização, comporta referência a domínios de objetos que o exemplificam e dos quais, ao mesmo tempo, provém. Na medida em que traz dentro de si semelhante referência, a título constitutivo, pode-se dizer que ele é a priori. Isso significa que é independente enquanto tal de suas aplicações possíveis, mas também, por outro lado e ao mesmo tempo, que contém de antemão a possibilidade de todas as suas aplicações.

Na ordem da invenção, o pensamento matemático encaminha-se naturalmente em direção a formas cada vez mais gerais. O procedimento prospectivo é formalizante. Mas a ordem da invenção é o inverso da ordem da constituição. A descoberta reconstitui de alguma maneira, partindo de baixo, um processo que, em conformidade com sua essência, se desdobra a partir das mais integrantes formas e que, em última análise, se prende a um centro organizador que deve ser a possibilidade mesma da forma. De resto, o procedimento da invenção, enquanto é formalização, só é possível na medida em que é comandado pela ação dessa possibilidade pura. Poderíamos chamar-lhe: "a formalidade". Ela é como que a forma das formas, o horizonte no qual podem se constituir as figuras formais, o campo da formalização, o espaço de engendramento das estruturas.

Os seres matemáticos, em sua concretude e em sua efetividade, povoam esse campo. Eles pertencem, a) um domínio de constituição regido pelo que se acaba de chamar "a formalidade" e contêm de antemão a possibilidade de uma relação com a realidade concreta. Isso sugere muito naturalmente a noção de esquema transcendental. Os seres matemáticos são reais, não como coisas que se produzem efetivamente no universo dos encontros, das interações, das resistências, na opacidade do mundo, mas como pseudo-objetos, como esboços das coisas concretas. Eles ocupam uma situação intermediária. Em face da formalidade pura, do campo da formalização, aparecem como entidades concretas, como espécies de coisas. Em face do universo concreto, do mundo percebido, só aparecem como formas, épuras ideais.

Essas observações não devem, no entanto, levar-nos a retomar pura e simplesmente a noção kantiana de esquema, que é, evidentemente, demasiado estática, mesmo ligada à forma do tempo. O esquema kantiano representa uma modalidade de articulação no tempo, uma maneira de exibir uma categoria no tipo de multiplicidade pura ordenada constituída pelo tempo. Mas, por essa razão, o esquema permanece puramente estático. Ora, devemos conceber o ser matemático como animado de um movimento imanente. É preciso, por isso, integrar ao esquema o movimento de desencaixamento progressivo das estruturas, a subida incessante em direção à abstração. Seria preferível falar em esquematização do que em esquematismo.

Sob um outro aspecto, não podemos tampouco seguir Kant   em sua concepção do a priori como constitutivo do objeto do conhecimento, se por "objeto do conhecimento" devemos entender o objeto percebido. As matemáticas não constituem um a priori da percepção, mesmo em seu aspecto geométrico. O problema da relação do espaço geométrico com o espaço percebido é da mesma natureza que o problema da relação das mais abstratas estruturas algébricas com os objetos concretos, por exemplo com as figuras simétricas que encontramos na natureza. Isso significa que não se deve interpretar as matemáticas na linha de uma teoria do conhecimento, pelo menos de maneira primordial. Elas intervém, certamente, no processo do conhecimento, e o que está em questão aqui é justamente determinar qual é a modalidade de sua intervenção. Mas não podemos ver nelas um momento da constituição do objeto. Como será sugerido mais adiante, sua virtude está antes em nos permitir a reconstrução do objeto.

Vale dizer que a explicação deve se situar no plano ontológico. Se queremos fundar a dupla possibilidade da autonomização da forma e de sua referência implícita ao concreto, é preciso, parece, pensar em uma teoria da processão, que interprete a realidade como processo de produção e esse próprio processo como captura da forma, descida da forma num substrato que lhe servirá de suporte de lugar de ancoragem. O esquema deve ser entendido como um a priori constitutivo, isto é, como condição relativa à produção do real. Neste sentido, a realidade matemática é imanente à realidade concreta. Ela é por assim dizer seu arcabouço. Mais exatamente, ela representa uma camada constitutiva, ela é arcabouço a um certo nível, aquele que justamente define a noção de estrutura. Em seu devir, as matemáticas remontam o movimento da processão. Mas em sua constituição interna, elas se organizam necessariamente segundo as articulações que pertencem à essência desse movimento. De resto, é também na direção desse movimento que elas operam quando estão voltadas para a aplicação. Se a descoberta matemática é um remontar em direção às condições da processão, a aplicação das matemáticas à realidade refaz, por assim dizer, o próprio movimento processional. Indo às coisas mesmas, elas; levam a seu termo o processo cujos momentos estruturais são descritos pela ciência matemática.

Enquanto esquemas organizadores, meios da processão universal, as formas matemáticas são da alçada, não da intuição perceptiva, nem da pura e simples conceptualização - o conceito é pobre demais para explicar a forma e sua vida interna -, mas da imaginação transcendental. No entanto, evocar aqui a imaginação não significa, de maneira alguma recorrer a um modo de livre criação onde pudesse se expandir o arbitrário do pensamento. Há uma necessidade interna que a invenção vem apenas reconstituir. Essa necessidade deve ser redescoberta porque, enquanto tal, não é imediatamente visível. A razão é que as matemáticas não estão’ dadas em sua unidade, mas unicamente por partes. É só pouco a pouco que os fragmentos se juntam, que a unidade começa a aparecer. Mas ela volta sempre a se desfazer. Contudo, estamos suficientemente informados disso* para pressentirmos que deve haver uma co-pertinência de todas as partes, que a matemática é realmente una. Conseqüentemente, não podemos nos contentar em ver nas teorias matemáticas simples esboços para mundos possíveis entre os quais a experiência deveria nos permitir descobrir o mundo real, o possível que se encontra de fato realizado. Deveríamos, antes, ver na matemática a possibilidade mesma do mundo, do único’ mundo real e verdadeiro. Em outras palavras, deveríamos ver nela, como se sugeriu, uma ontologia. Mas como a unidade é apenas presuntiva, como ainda estamos muito longe de ter explorado todo o campo, não podemos pensar em fazer de imediato das matemáticas existentes a teoria da realidade. É preciso fazer o rodeio pela experiência, proceder por ensaios e erros, descobrir apenas de maneira progressiva como se juntam os fragmentos, quais fragmentos das matemáticas combinam com quais fragmentos do mundo. A verdade das matemáticas só é descoberta a posteriori, numa experimentação intelectual sempre difícil e perigosa.

Mas isso leva-nos muito diretamente ao nosso segundo tema: a mediação do modelo.

 B. O modelo como mediador entre as matemáticas e a realidade social

Deveríamos, claro, após as reflexões precedentes, evocar a realidade concreta em sua totalidade. Mas, em conformidade com a intenção inicial desta exposição, vamos nos limitar ao que concerne à realidade social, pensando aliás de maneira mais particular no domínio da economia. A questão que se coloca aqui é a seguinte: como, praticamente, se faz a aplicação das matemáticas à realidade social?

Como já indicamos, não será no contexto de uma teoria da percepção que poderemos responder a essa questão. Não se poderá explicar a aplicabilidade das matemáticas à realidade social dizendo que as matemáticas intervém na constituição dos objetos que são percebidos no campo social. Se recorrermos, como foi proposto mais acima, a uma teoria da constituição, diremos antes que as matemáticas intervém na produção da realidade e devem, pois, permitir em princípio reconstituí-la, não tal como dada à percepção, mas tal como funciona nos contextos concretos e complexos de ação e de interpretação nos quais de fato a encontramos. Todo contexto desse gênero já contém em si mesmo o esboço de uma reconstituição e, consequentemente, a indicação de uma matematização, pelo menos de maneira virtual.

Entretanto, como as matemáticas não estão prontas, mas em permanente devir, o método da reconstrução matemática não se mostra de imediato. Ele deve ser elaborado numa investigação tateante. Donde a necessidade de um vaivém entre a realidade matemática e a realidade concreta. As matemáticas já constituídas proporcionam um enfoque da realidade concreta: elas podem ser utilizadas como espécies de hipóteses por meio das quais colocamos questões à realidade dada. E, por outro lado, em sentido inverso, o exame atento desta, mesmo quando conduzido segundo interpretações que ainda se encontram mais ou menos próximas da visão ingênua que a linguagem ordinária exprime, sugere novos problemas às matemáticas e contribui assim para seu devir.

Só que - visto que não se pode proceder inteiramente a priori - faz-se necessário uma conexão, um elemento mediador. Esse elemento deve participar ao mesmo tempo das propriedades do ser matemático e das propriedades da realidade concreta. Deve, portanto, ter, de uma parte, um caráter ideal, isto é, formal, e, de outra parte, apresentar-se sob a espécie de entidades concretas, susceptíveis de portar propriedades e de manter certas relações mútuas. Essa observação nos dá de imediato a chave do problema. O que devemos invocar é o modelo. Como se viu, o modelo é da mesma ordem que a estrutura, ele é construído’ num campo ideal, seu universo é feito de pseudo-objetos, que têm por função apenas servir de suportes às relações constitutivas da estrutura. Mas, de outra parte, na medida precisamente em que oferece um suporte a esta, ele é capaz de representar um universo concreto, no sentido próprio do termo, é capaz de lhe servir de lugar-tenente, de operar por assim dizer em seu lugar, em sua relação, evidentemente, com o mundo das formas puras.

O modelo permanece ele mesmo, mias, na problemática da aplicação, reveste-se de uma nova função. Em face da estrutura, sua função é a de servir de domínio de exemplificação, a de mostrar, permitir uma apreensão mais concreta da estrutura e de seu modo de funcionamento. É um domínio de realização onde a estrutura se faz por assim dizer realidade tangível. Mas, no contexto da aplicação, ele tem uma outra função: a de ser um agente mediador, isto é, a de fornecer uma esquematização que torna a realidade efetivamente assimilável pela estrutura ou, o que dá no mesmo, que torna a estrutura legível na própria realidade concreta. A reconstrução efetuada na matematização é a apreensão da estrutura no interior mesmo da realidade. Poderíamos dizer que essa apreensão é uma abstração. Mas semelhante maneira de falar corre o risco de levar a mal-entendidos. A abstração isola, destaca a forma do conteúdo. Trata-se aqui de um processo inverso, de um processo de descida: apreender a estrutura no real não é, para dizer a verdade, extraí-la dele, mas refazer a operação constituinte na qual o real se coloca a partir da forma. Há uma abstração no sentido de que há separação, autonomização da forma. Mas há, ao mesmo tempo, concretização no sentido de uma captura da forma na realidade existente. As duas operações são inseparáveis, posto que, como se viu, a forma é esquema, logo um processo ao mesmo tempo concretizador e abstrativo, auto-produção necessariamente circular em que o concreto se torna abstrato e vice-versa.

Uma vez que o modelo tem essa dupla função, podemos utilizá-lo de duas maneiras: podemos ir da estrutura para o modelo e do modelo para a estrutura. De fato, os dois procedimentos intervém na aplicação. É isso que explica o vaivém exploratório em que consiste o estudo por meio de modelos.

Mas, se o modelo ainda é ideal, logo propriamente matemático, como poderemos efetuar a passagem do real para o modelo? Sem dúvida, o modelo tem um caráter mediador, mas é preciso preparar sua intervenção. O problema que aparece aqui é, em suma, o da modelização. Para tentar resolver esse problema, será preciso invocar o que se poderia chamar de reinterpretação esquematizante do real concreto. Trata-se efetivamente de uma reinterpretação, pois, de fato, partimos sempre, e isso necessariamente, de certas interpretações prévias, formuladas no quadro da linguagem natural ou, em todo caso, de uma linguagem pré-matemática. Não se passa de pronto da percepção ou da ação para a matematização. É isso que explica a insuficiência das epistemologias que acreditam poder explicar a comprovação de uma teoria em termos de atos de observação, como se pudéssemos submeter imediatamente à prova uma proposição- abstrata com base na percepção. Há, naturalmente, em) toda experiência concreta, uma intervenção da percepção, mas também há uma intervenção da linguagem que acompanha esta última e no quadro da qual, precisamente, a realidade é articulada de uma certa maneira. Poderíamos chamar essa interpretação primeira, que se produz no mais imediato dos níveis, de "interpretação natural". É preciso ressaltar que ela nada tem de rígido, de uniforme, de definitivo ou de último. Ela pode variar com os domínios linguísticos e com os níveis da experiência histórica. A linguagem é herdeira de si mesma. De fato, nós nos movemos sempre no âmbito de uma reinterpretação, mesmo ao nível da experiência espontânea, no sentido em que toda apreensão da realidade se efetua com base numa retomada das interpretações anteriores, através da qual estas são reorganizadas, transformadas, vistas de outra maneira. Isso é muito mais verdade ainda quando se trata da experiência da realidade social do que quando se trata da experiência física. É verdade que moldamos a natureza a partir de nossas próprias representações e que, deste modo, nos damos a nós mesmos a base de novas interpretações. A visão que temos da natureza não é nem uniforme nem imutável. Mas as coisas se passam assim, com muito mais razão, para a realidade social, que remodelamos sem cessar, mesmo sem o saber, à luz das interpretações através das quais a apreendemos, por meio das quais nos situamos em face dela, conformemente às quais compreendemos nosso lugar no jogo das interações. Ora, essas interpretações são elas próprias função da configuração social existente. Quando esta se modifica, as interpretações também se modificam, preparando assim novas metamorfoses da nova configuração.

De qualquer modo, partimos sempre de uma interpretação natural, mas dela passamos para uma interpretação construída, que é como que uma esquematização prévia à escolha do modelo. A esquematização consiste em isolar certos aspectos significantes, certas zonas julgadas críticas, certas relações consideradas como características. Assim, a teoria da decisão oferece uma certa representação simplificada da ação racional: o ator tem informações com base nas quais pode fazer estimativas quanto às consequências das decisões que pode tomar, podendo assim comparar suas possíveis decisões quanto aos efeitos esperados e às utilidades positivas ou negativas associadas a esses efeitos, e presume-se que tome a decisão indicada pela aplicação de um critério de utilidade máxima.

A reinterpretação não se faz, entretanto, de maneira fantasista e não se contenta em seguir as sugestões contidas nas interpretações prévias. Ela é conduzida por idéias inspiradoras, analogias, que são elas próprias recomendadas por uma pressuposição geral, segundo a qual o recurso à representação matemática é, em todos os casos, uma manobra fecunda. A analogia pode ser de vários tipos. Um problema colocado num certo domínio de experiência pode sugerir um problema similar estudado em matemáticas puras. Assim, na biologia ou na sociologia, podemos nos interessar por questões de estabilidade. Esse gênero de questão coloca-se, aliás, em todos os domínios onde lidamos com sistemas, pois um sistema é uma configuração mais ou menos complexa dotada de certos caracteres de invariância, ou, em outras palavras, de certo grau de estabilidade. Ora, encontramos na matemática problemas de estabilidade. R. Thom desenvolveu essa analogia a propósito dos problemas da estabilidade morfológica na biologia e, particularmente, na embriologia. Ele recorreu, para abordar esses problemas, à teoria qualitativa da dinâmica inaugurada por Poincaré. Quando nos encontramos em presença de um sistema de equações diferenciais, podemos nos preocupar, não em buscar diretamente soluções, mas em examinar o comportamento assimptótico das soluções. Em particular, seremos levados a nos perguntar em que condições as soluções assimptóticas são estruturalmente estáveis, isto é, permanecem topologicamente invariantes quando imprimimos ao sistema uma perturbação suficientemente pequena.

Podemos invocar também a analogia de modelos já conhecidos, que foram utilizados com sucesso em outros domínios, e que sugerem uma nova maneira de apreender o domínio de que nos ocupamos. Assim, a mecânica clássica forneceu analogias a certas modelizações bem conhecidas em economia, como ressaltou F  . Perroux a propósito do sistema walraso-paretiano. Os agentes econômicos são assimilados a pontos sem estrutura dotados somente de uma função de utilidade e entre os quais há interações, representadas, por funções de transformação. Temos então condições que exprimem as leis   de funcionamento do sistema e nos dão meios para estabelecer a existência de um equilíbrio estável e ótimo: é uma situação na qual as maximizações de todos os agentes são tornadas compatíveis entre si. O modelo de Marc e André Lichnerovicz está fundado sobre uma analogia bem mais interessante, a da termodinâmica. Ela introduz células simples ou complexas que não são homogêneas, entre as quais podem existir relações assimétricas, e uma agência exterior, que é uma espécie de célula simples privilegiada, capaz, por exemplo, de impor preços sobre os quais as outras células não podem agir. A cada célula está associada uma função de estratégia que tem as propriedades de uma entropia. A analogia aqui é a de um processo de troca entre sistemas físicos que podem ter configurações diferentes e entre as quais pode haver um "reservatório exterior" em face do qual todos os outros sistemas podem ser considerados como desprezíveis.

Finalmente, podemos recorrer a analogias entre a situação estudada e situações mais facilmente analisáveis. Assim, a teoria dos jogos pode ser considerada como uma etapa em direção à formalização das situações de competição. Um jogo onde intervém a habilidade dos jogadores é apresentado, neste contexto, como uma espécie de realização simples e facilmente analisável de um tipo de situação em que se defrontam competidores que não estão inteiramente entregues ao acaso, mias podem agir sobre a situação empregando estratégias apropriadas.

A reinterpretação, assim conduzida pela analogia, leva-nos ao limiar do modelo. A elaboração propriamente dita do modelo introduzirá dois componentes: por um lado, um componente propriamente matemático no qual novamente encontraremos a noção clássica de modelo e, por outro lado, um componente interpretativo. Na elaboração do componente matemático, o que vai servir de guia será, naturalmente, o conhecimento do campo matemático já explorado. Só reencontraremos situações conhecidas, o que aliás não exclui que possamos ser levados a introduzir a meio caminho problemas ainda não resolvidos. O que de novo encontramos é um tipo de situação. Ora, podemos muito bem conhecer um tipo de situação sem ter ainda considerado todos os casos concebíveis e sem ter encontrado todas as soluções teoricamente possíveis. Mas, para que o modelo desempenhe seu papel mediador, é preciso que intervenha o segundo componente, o componente interpretativo. Este permite associar pelo menos alguns elementos do modelo a aspectos da realidade interpretáveis no quadro da interpretação natural. Está claro que, aqui, é a reinterpretação prévia que vai servir de guia, mas ela ainda tem um papel meramente preparatório. Será preciso especificar formalmente, por meio de regras de correspondência apropriadas, como o modelo pode ser colocado em relação com aquilo que é susceptível de ser apreendido e compreendido ao nível da experiência mediata e da ação. É preciso observar que a interpretação não deve necessariamente associar a cada entidade do modelo, objeto, relação, propriedade, operação, uma entidade correspondente pertencente à realidade concreta. Não é tampouco necessário propor uma interpretação para cada uma das proposições do modelo. Bastará que certas proposições sejam interpretáveis e isso exigirá normalmente que certas entidades formais do modelo o sejam.

A dificuldade principal que encontramos aqui deriva do fato de que o modelo, uma vez elaborado, permite construir conceitos novos, que não têm nenhum equivalente naquilo de que se dispunha no ponto de partida, e para a interpretação dos quais a reinterpretação prévia não oferece nenhum fio condutor. É sobre as sugestões do próprio modelo que será preciso apoiar-se para descobrir as interpretações plausíveis de semelhantes conceitos e tirar assim um bom partido daquilo que o modelo permite afirmar a seu respeito.

Feitas essas considerações gerais, vejamos como se apresenta especificamente a modelização no caso das ciências sociais. Encontramos aqui dois grandes tipos de problemas: problemas de morfologia e problemas de evolução. Os dois tipos estão ligados, evidentemente, posto que uma morfologia é o produto de uma evolução. Mas é interessante separá-los um do outro, em todo caso no plano da reflexão metodológica.

Encontraremos um belíssimo exemplo do primeiro tipo de problema no estudo das estruturas de parentesco e, mais particularmente, no estudo do sistema murngin para o qual André Weil  , seguindo as indicações de Claude Lévi-Strauss  , elaborou um modelo algébrico relativamente simples, baseado nas noções de grupo de permutação e de congruência. O interesse desse modelo está no fato de permitir não apenas que se caracterize o sistema de relações de parentesco dos murngin a partir de suas regras de casamento, mas também que se responda através do cálculo se a sociedade murngin é redutível ou não, isto é, se é decomponível ou não em subgrupos de tal modo que um indivíduo de um desses subgrugos não possa aparentar-se por intermédio de um casamento com um indivíduo de um outro subgrupo.

O que há de particularmente interessante na teoria dos sistemas de parentesco construída por Claude Lévi-Strauss   é que o fio condutor, de que se serviu para elaborar suas reinterpretações e assim preparar a constituição de modelos propriamente ditos, é um princípio geral que tem a forma de uma proposição normativa: é o princípio da aliança, que prescreve que todas as uniões devam se fazer de tal sorte que a reciprocidade esteja assegurada entre as linhagens inter-permutantes. Ora, parece que esse princípio atua de alguma maneira em dois níveis. Ao nível de sua significação explícita e imediata, ela prescreve que as alianças devam obedecer a uma regra de reciprocidade, logo de simetria. Mas, a um nível menos aparente, que só a análise detalhada dos sistemas permite colocar em evidência, ele assume uma outra significação: a de uma lei de expansão. Essa lei prescreve uma norma de organização dos sistemas: é preciso descobrir e utilizar os sistemas de aliança que coloquem em jogo o maior número possível de linhagens e estabeleçam assim entre elas ligações orgânicas. Certamente, nesse nível, a reciprocidade continua a atuar, mas a título de certa maneira instrumental. Ela serve para assegurar a ligação, não sendo ela própria a norma última. Poderíamos dizer que a norma de reciprocidade está subordinada a uma norma de universalização, a qual ela tem por função tornar eficaz.

No que concerne aos problemas dinâmicos, dispomos de certas representações diretrizes que são visivelmente inspiradas por analogias fornecidas pela física. A noção-pivô é a de sistema. Um sistema é uma entidade complexa que pode ser caracterizada por um certo número de grandezas. A cada momento do tempo, cada uma dessas grandezas tem um valor determinado. O conjunto desses valores num momento dado fixa o estado do sistema nesse momento. Esse estado pode ser representado por um ponto ou por um vetor num espaço de configuração, isto é, num espaço figurando todos os espaços possíveis do sistema. A evolução do sistema consiste em sua passagem de um para o outro estado. Ela pode ser representada por uma trajetória no espaço de configuração. Naturalmente, as transições podem ser contínuas ou discretas, deterministas ou estocásticas. Trata-se, em todo caso, de descobrir as condições que comandam a passagem de um estado para o outro, e cujo conhecimento deve permitir, em princípio, a reconstituição da evolução anterior do sistema e a previsão de sua evolução futura.

O caso mais geral é o de um sistema complexo formado ele próprio de subsistemas. O estado do sistema complexo será considerado como determinado pelos estados dos sistemas componentes. Mas teremos que levar em conta, naturalmente, não somente os estados desses sistemas componentes tomados um por um, ruas igualmente as ligações existentes entre eles. O conjunto dessas ligações constitui o que se pode chamar de configuração do sistema global. A passagem de um estado macroscópico (estado do sistema global) para outro estado macroscópico poderá, por conseguinte, assumir a forma seja de uma mudança de estado em um ou vários dos subsistemas, seja de uma mudança da configuração. O formalismo que descreve a evolução de um sistema num espaço de configuração parece, pois, apto a cobrir os problemas dinâmicos reais, que podem concernir tanto a configurações quanto a variações quantitativas (ligadas a mudanças de valor dos parâmetros que caracterizam os estados dos subsistemas).

Mas o problema crucial é o da lei do movimento no espaço de configuração. Parece que se pode formular essa lei sob a forma de um critério. Temos aqui, no caso de um sistema qualquer, uma analogia com o que se passa no caso de um sistema mecânico. Para semelhante sistema, podemos ligar a lei do movimento no espaço de configuração a um princípio variacional. Esse princípio assumirá, por exemplo, a forma do princípio da menor ação: o movimento executa-se de tal maneira que uma certa expressão, a integral de ação, assume um valor extremo. Essa condição pode ser ela própria expressa sob a forma de uma anulação da variação dessa expressão. No caso das ciências sociais, encontramo-nos, parece, diante de uma bifurcação: há, por um lado, o que se poderia chamar de teorias dos atores e, por outro lado, as teorias dos sistemas propriamente ditos.

Quando elaboramos uma teoria dos atores, adotamos o ponto de vista segundo o qual todos os fenômenos sociais, os fenômenos econômicos em particular, se resolvem em última análise em ações e supõem, por conseguinte, atores. O princípio-critério que invocamos assume, então, a forma de uma norma de comportamento. Levantaremos hipóteses apropriadas sobre os atores. Assim, suporemos que o ator econômico age de maneira racional e tentaremos precisar em que consiste, exatamente, essa racionalidade da ação. O critério assumirá, por exemplo, a forma de um princípio de maximização: presume-se que o ator aja de maneira a maximizar uma função de utilidade, função que pode de resto introduzir, não diretamente as utilidades, mas a esperança matemática das utilidades. Ao introduzir assim a esperança matemática, levamos em conta o elemento aleatório que parece estar ligado de maneira necessária às estimativas dos interessados. Levamos em conta assim1, pelo menos implicitamente, o fator tempo, que introduz sempre uma decalagem entre a decisão e seus efeitos.

O grande problema para esse gênero de teoria consistirá em saber se podemos, a partir de semelhante critério, descobrir condições de compatibilidade, isto é, condições sob as quais as ações poderão concorrer, numa medida suficiente, para criar um efeito global. É para esse gênero de problema que a teoria dos jogos a duas pessoas oferece uma solução, sob a forma do teorema do ponto fixo. Esse teorema indica, de fato, que há um ponto onde as estratégias, aliás aleatórias, dos atores podem, de alguma maneira, se compatibilizar. Mas podemos ir mais longe ainda e nos perguntar não somente se existe um ponto de equilíbrio, mas se ele é o ponto ótimo ou se é estável. Ora, a ideia de otimidade introduz um outro critério diferente daquele do qual se presume depender o comportamento do ator individual. Certamente, segundo as aparências, formalmente, poderemos sempre definir a otimidade por meio de um’ critério da ação individual. Assim, diremos que o ponto ótimo é o ponto onde as maximizações dos atores se tornam compatíveis, levando-se em conta eventualmente as coerções que eles exercem uns sobre os outros. Mas, por trás dessa noção de otimidade, delineia-se uma outra, que desempenha de alguma maneira o papel de norma justificadora: é a adaptação entre os sacrifícios consentidos em bens, em trabalho, em coerções diversas, e a satisfação das necessidades reais. Naturalmente, a noção de "necessidades reais" deve ser precisada. Mas, ao utilizarmos essa noção, sugerimos que as necessidades efetivamente satisfeitas não são necessariamente idênticas às necessidades reais. Por exemplo, são apenas as necessidades solvíveis, ou são as necessidades criadas pela publicidade, em detrimento de outras necessidades às quais não se dá nenhuma atenção. Aqui o problema econômico articula-se com o problema político da formulação das necessidades, das escolhas de prioridades, do controle das decisões. De qualquer modo, a questão que se coloca no quadro da análise econômica é a seguinte: dado um sistema, será que ele funciona efetivamente de maneira a satisfazer a esse critério? Será que este opera enquanto critério intrínseco, imanente, sendo a conformidade ao critério assegurada de alguma maneira automaticamente, pelo livre jogo do sistema? Eis aí, em suma, o que está contido na ideia clássica da virtude do mercado puro; presume-se que o mercado assegure por seu simples funcionamento, a melhor adaptação possível entre os recursos e as necessidades. Ou será preciso, ao contrário, reconhecer que há necessariamente distorção relativamente a esse critério? Se assim fosse, isso significaria que ele não poderia ser considerado como um critério imanente, mas que deveria necessariamente intervir como um critério externo, permitindo julgar, no plano do conhecimento, da qualidade de um sistema, e fornecendo de resto uma norma de intervenção no plano da ação política.

Se vemos as coisas por uma outra óptica, a das teorias baseadas na ideia de sistema, nos colocamos de imediato no ponto de vista global. Consideramos os atores simplesmente como os portadores, não significantes, de forças de interação que atuam fora deles. Nós os colocamos por assim dizer entre parênteses. E formulamos uma lei-critério governando a evolução do sistema, em termos de componentes macroscópicos que o caracterizam. Por exemplo, diremos que o sistema, sob o efeito das interações entre suas partes (que não são mais atores individuais, mas subsistemas) - trocas de bens, de serviços, de informações -, tende para um estado de equilíbrio estável. Mas poderíamos também1 invocar um outro tipo de lei-critério e dizer, por exemplo, que o sistema tende para situações de desequilíbrio. Esses desequilíbrios podem ser interpretados como situações de crise, isto é, como situações que tendem a desorganizar o sistema, ou então podem ser interpretados como descontinuidades, através das quais se efetuada o crescimento do sistema. As descontinuidades podem ser consideradas como assumindo seu lugar no quadro da configuração dada. Elas também podem ser consideradas como modificações da configuração. Poderíamos assim ser levados a adotar um esquema mais complexo: colocado numa configuração dada, o sistema evolui inicialmente, no quadro dessa configuração, para uma situação de tipo catastrófico; esta introduz uma descontinuidade que se traduz por uma modificação da configuração, e essa modificação torna ela própria possível uma nova evolução no sentido do crescimento. Podemos ter em seguida, eventualmente, uma retomada do ciclo, isto é, o reaparecimento de uma evolução de tipo catastrófico, ou bem uma tendência para um estado estacionário, ou bem uma expansão indefinida de aspecto linear, ou, eventualmente, de aspecto exponencial.

No entanto, numa teoria desse tipo, deveremos a um dado momento recordar a existência dos atores, e nos perguntaremos então se podemos enriquecer a compreensão que temos do sistema, descendo do nível macroscópico para o nível microscópico, um pouco à maneira da mecânica estatística que, ao descer ao nível dos constituintes elementares de um sistema termodinâmico, proporciona uma compreensão mais profunda do comportamento deste. Mas há duas maneiras de considerar tal redução. Podemos tentar reduzir a perspectiva do segundo gênero a uma perspectiva do primeiro gênero. Deveremos então ser capazes de explicar a norma de funcionamento do sistema a partir da norma invocada para explicar o comportamento dos atores individuais. Também podemos tratar os atores simplesmente como subsistemas, permanecendo assim no quadro da perspectiva do segundo gênero, mas precisaremos então de hipóteses concernentes à articulação dos subsistemas com o sistema global. De toda maneira, na perspectiva do sistema assim como na dos atores, encontramos de novo a intervenção de uma norma justificadora, governando de algum modo o critério de funcionamento. Assim, no caso dos problemas dinâmicos bem como no dos problemas morfológicos, os critérios distribuem-se em dois planos diferentes: num primeiro plano, mais aparente, vemos intervir critérios formais, num segundo plano, mais profundo, vemos intervir critérios de significação. É a estes que compete o papel decisivo, pois são reguladores com respeito aos critérios formais e fundam sua inteligibilidade. Todo critério formal remete a um critério de significação.

Mas permanece colocada a questão: o critério de significação será puramente imanente, ou exterior com respeito ao sistema? Vê-se que podemos tentar justificar um sistema em nome do critério de significação recebido, tentando demonstrar que esse critério é imanente ao sistema, isto é, que suas leis   de funcionamento asseguram sozinhas a satisfação do critério. Se nos damos conta de que o critério de significação recebido não é imanente, no sentido que se acaba de dizer, a tal sistema, poderemos nos perguntar se poderá tornar-se imanente em tal outro sistema onde as coerções seriam definidas de outra maneira. Mas talvez devamos, afinal, rejeitar a idéia mesma de imanência, talvez haja uma transcendência inevitável de todo critério de significação com relação a todo sistema.

Interrogar-se sobre o estatuto do critério de significação equivale a interrogar-se sobre a relação existente entre os critérios formais e o critério real, isto é, o critério de significação. Max Weber   já evocava esse problema, é verdade que em termos um pouco diferentes, ao falar em racionalidade formal e em racionalidade material. Para ele, havia necessariamente, no sistema capitalista em todo caso, uma contradição entre essas duas formas de racionalidade, e a tensão resultante devia necessariamente acarretar uma evolução no sentido de uma oposição crescente à racionalidade formal e de uma paralisia progressiva dos mecanismos reguladores encarregados de assegurá-la. Se existe semelhante tensão, é porque o critério de significação permanece exterior. Talvez ele o seja por princípio para todo sistema. Como se vê, a oposição entre um estatuto imanente e um estatuto1 transcendente da norma de significação é também a oposição entre o automatismo e o voluntarismo, ou ainda a oposição entre uma racionalidade puramente imanente e uma racionalidade consciente. Se a norma de significação é externa, a racionalidade imanente só pode ser uma racionalidade formal. A racionalidade substancial, a única em que se pode reconhecer um projeto propriamente humano, só pode ser assegurada então por uma intervenção da consciência e da vontade, isto é, graças a um domínio efetivo dos mecanismos formais, quer dizer, do sistema enquanto tal.

 C. As condições de validade da representação por modelos

Resta-nos agora interrogarmo-nos sobre o alcance da modelização, sobre sua validade epistêmica. Partimos de duas questões, uma relativa à aplicabilidade das matemáticas, a outra relativa ao valor que se pode reconhecer à, matematização. As duas primeiras partes da exposição tentaram responder à primeira questão, mostrando como a possibilidade da aplicação das matemáticas à realidade concreta está contida no interior mesmo da estrutura do ser matemático e se encontra assim fundada na natureza deste. Mas a explicação proposta ainda não dá uma resposta à segunda questão. Poderíamos formulá-la da seguinte maneira: será que o modelo é adequado? Essa formulação exige uma precisão. Se falamos em adequação, é preciso evidentemente indicar qual é o termo com relação ao qual deve se estabelecer a relação de adequação. Tratar-se-ia da percepção? Mas, como já se ressaltou, o modelo é de ordem teórica e pressupõe sempre uma interpretação e, mesmo, uma reinterpretação do real. Ele não pode ser referido pura e simplesmente a um conteúdo perceptivo. A percepção desempenha seu papel na experiência, mas não é a instância última à qual tudo deveria ser afinal referido, e a partir da qual tudo deveria ser julgado. Será preciso, então, invocar a interpretação natural? Mas por que razão esta seria privilegiada? Sem dúvida, ela deve intervir, inevitavelmente, no processo que conduz à elaboração do modelo. Mas isso não significa que ela constitua por si mesma uma espécie de imagem verdadeira com a qual qualquer outra representação deveria ser comparada. Poderíamos pensar na ação: o modelo deveria se comprovar na eficacidade que proporciona à ação. Mas a ação está sempre ligada a interpretações e a critérios. Ela não tem uma significação que viesse só dela, ela deve ser apreciada a partir de princípios de avaliação e, de resto, ela comporta, em sua própria estrutura, uma apreciação de si mesma e, por conseguinte, em todo caso em estado implícito, de semelhantes princípios de avaliação. Portanto, se quisermos referir o modelo à ação, seremos levados a julgá-lo, em última análise, a partir dos critérios que permitem apreciar a ação. Mas quais critérios seria preciso introduzir? Aqueles que a ação se dá a si mesma, implícita ou explicitamente, os que são oferecidos pela interpretação natural (e que podem coincidir com os precedentes, se se trata da interpretação do próprio ator, ou que podem ser diferentes deles se se trata de testemunhas exteriores)? Mas voltamos então à objeção precedente: nada permite privilegiar uma avaliação deste gênero. Seria preciso introduzir critérios que fossem sugeridos pelo próprio modelo e formulados em sua linguagem? Mas então nos veríamos diante de uma situação circular.

Na realidade, o que visamos, através da matematização, é, evidentemente, uma melhor apreensão do real, e isso num duplo sentido: trata-se ao mesmo tempo de obter uma compreensão mais profunda e de dispor de um guia mais eficaz para a ação. O objetivo perseguido não é, pois, oferecer uma explicitação da interpretação natural, à qual fosse preciso voltar sempre como uma instância última de significação e de julgamento, mas propor francamente uma interpretação que a substitua e que ofereça maiores garantias de verdade e de eficácia (relativamente aos objetivos que nos propomos). A virtude do modelo consiste em que ele permite precisamente obter resultados que não estão absolutamente contidos de antemão na interpretação natural, nem mesmo na reinterpretação prévia. Tais resultados podem nos ensinar algo de verdadeiramente novo sobre a realidade. Ora, é precisamente por intermédio do desenvolvimento matemático que o modelo oferece essa visão inédita.

É preciso, no entanto, assegurar-se da validade dessa nova interpretação, e isso na perspectiva mesma do critério de adequação que acaba de ser evocado. A que condições deve satisfazer o modelo para proporcionar verdadeiramente uma melhor compreensão e um melhor instrumento de intervenção? A questão que é preciso colocar aqui é a da comprovação do modelo. Os conceitos epistemológicos que intervém nesse contexto são os de confirmação e de corroboração. O ponto de vista da confirmação foi particularmente colocado em evidência por Carnap. Ele está estreitamente ligado à ideia de uma lógica indutiva. O procedimento; essencial, na aquisição do conhecimento, seria o da indução, e esta deveria ser analisada em termos de confirmação: ela consistiria em reforçar progressivamente, por novos resultados de observação, o grau de confirmação de uma hipótese. Segundo esse ponto de vista, toda situação singular (de caráter concreto, susceptível de se oferecer à observação, eventualmente no contexto de uma experimentação mais ou menos sofisticada) que esteja de acordo com uma proposição hipotética dá a esta um peso maior, aumenta seu grau de confirmação, torna-a pois mais crível, mais próxima de algum modo do estatuto de uma proposição verdadeira. O inconveniente da confirmação é que ela não nos ensina nada, afinal, sobre a verdade da hipótese examinada e, sobretudo, não leva em conta hipóteses alternativas que poderiam ser invocadas com base nos mesmos fatos. Uma hipótese falsa pode muito bem ser confirmada de maneira repetida. Pois a confirmação não passa da constatação da verdade de uma consequência particular da hipótese. Ora, a verdade de uma consequência jamais garante a verdade das premissas. Ao procurar confirmar uma hipótese, jamais podemos chegar a um juízo definitivo sobre essa hipótese e não obtemos os meios de compará-la de maneira decisiva com hipóteses rivais. Aliás, na medida em que o estrito ponto de vista da confirmação está ligado à ideia de indução, seria preciso invocar também contra ele todas as objeções levantadas contra a legitimidade da ideia de lógica indutiva.

O ponto de vista da corroboração, que foi desenvolvido a partir de 1934 por K. Popper  , apoia-se na dissimetria entre confirmação e infirmação: a confirmação de uma hipótese não nos ensina nada sobre a verdade desta, mas um único caso de infirmação basta para nos assegurar da falsidade de uma hipótese. Pois, se a verdade de uma conclusão não nos dá nenhuma indicação sobre o valor de verdade das premissas, a falsidade de uma conclusão nos indica com certeza que as premissas são falsas (visto que de premissas verdadeiras só podem se seguir consequências verdadeiras). Ao descobrir que uma hipótese é falsa, obtemos uma informação decisiva a seu respeito: sabemos que ela deve ser definitivamente rejeitada. Deveremos, portanto, adotar uma estratégia de falsificação. Colocaremos em competição diferentes hipóteses e tentaremos imaginar para cada uma delas experiências susceptíveis de falsificá-las. Eliminando as hipóteses que não resistem à comprovação, restringimos progressivamente o número das hipóteses em que se pode pensar. O conhecimento progride assim por ensaio e erro: imaginam-se hipóteses e, submetendo-as a comprovações potencialmente falsificantes, eliminam-se progressivamente as que se revelam falsas. Diremos que uma hipótese é corroborada se resistiu a uma comprovação de falsificação, e seu grau de corroboração corresponderá à medida de sua resistência a semelhantes comprovações.

S. Watanabe propôs uma noção de credibilidade, que realiza uma espécie de síntese entre o ponto de vista da confirmação e o da corroboração. Trata-se de uma medida que se pode aplicar a uma hipótese com base numa massa dada de informações (o conjunto dos resultados de observação de que dispomos em um momento dado) e que depende ao mesmo tempo da probabilidade a priori da hipótese (isto é, do peso que lhe concedemos independentemente dos resultados de observação, a partir de critérios puramente epistêmicos, tais como a capacidade sintetizante, a concordância com outras hipóteses, as possibilidades de coordenação entre teorias, etc), da probabilidade dedutiva das informações disponíveis (isto é, da probabilidade que se pode conceder a priori a essas informações com base na hipótese considerada), e das outras hipóteses que podemos invocar comi base nas informações disponíveis. Essa medida é tal que ela cresce à medida que vêm se acrescentar informações concordantes com a hipótese (ponto de vista da confirmação), torna-se nula quando a hipótese é infirmada, e é influenciada pela maneira pela qual as novas informações afetam as outras hipóteses (ponto de vista da corroboração).

Esses diferentes critérios epistemológicos - e talvez mais particularmente o último, que leva em conta mais adequadamente todas as circunstâncias que intervém na apreciação de uma hipótese - têm certamente um papel a desempenhar no juízo que se poderá fazer a respeito da validade de um modelo. Mas terão um caráter decisivo? Deveremos antes de mais nada nos indagar se eles podem se aplicar nos casos em que não há, em sentido próprio, experimentação. Em geral é este, com efeito, o caso das ciências sociais. Poderíamos responder a essa dificuldade dizendo que, pelo menos, podemos utilizar o modelo para fazer predições relativamente a observações futuras. Os critérios que acabam de ser invocados podem funcionar nessa base: comparando as predições, feitas para um momento determinado, com o que é observado nesse momento, podemos constatar seja um acordo seja um desacordo entre o modelo e os dados observados e determinar, com base nisso, como é afetado o grau de confirmação, ou de corroboração, ou de credibilidade do modelo. No caso em que houver um acordo, poderemos dizer que há confirmação. Mas, como vimos, isso de modo nenhum permite concluir qualquer coisa que seja quanto à validade do modelo. E para dizer que o modelo está corroborado, seria preciso mostrar que o "curso das coisas" desempenhou o papel de uma experiência falsificadora. Em que medida tal demonstração pode ser oferecida? Para mostrar que uma certa evolução tem efetivamente, com respeito a um modelo1 dado, a função de uma comprovação falsificadora, é preciso, sem dúvida, fazer interpretações que têm elas próprias um caráter hipotético. É grande o risco de se ver arrastado, por esse caminho, seja num círculo, seja num regresso infinito. No caso em que não houver acordo, deve-se em princípio rejeitar a hipótese. Mas, como controlamos mal as circunstâncias, diferentemente do que se passa na experimentação, poderemos sempre explicar o resultado negativo pela intervenção de circunstâncias particulares. A cláusula: "dadas as mesmas circunstâncias desempenha aqui um papel decisivo. A hipótese deve poder ser confirmada em tal e qual situação, caracterizada por um estado determinado de fatores bem especificados, mas com a suposição complementar de que os outros fatores não influenciaram o fenômeno. Essas suposições complementares desempenham o papel de uma hipótese secundária, que não pode evidentemente ser ignorada. Para poder concluir francamente pela falsidade da hipótese considerada, seria preciso se assegurar da validade da hipótese secundária. Ora como isso é muito difícil e talvez mesmo impossível em toda generalidade, será sempre possível colocar em causa a hipótese secundária para "salvar" a hipótese principal. No máximo, poderíamos dizer que a cumulação dos casos negativos acabará por abalar a hipótese proposta, ou em, todo caso por impor um remanejamento, que em geral assumirá o aspecto de uma nova complexificação. (Será preciso acrescentar restrições, levar em conta um maior número de fatores, introduzir relações mais complicadas, etc.) O critério de credibilidade de W. Watanabe talvez seja suficientemente flexível para levar em conta situações desse gênero. De qualquer maneira, a impossibilidade de se recorrer à experimentação no sentido estrito, em ciências sociais, limita muito o alcance dos critérios espistemológicos invocados.

Poderíamos, no entanto, tentar conferir-lhe maior eficacidade considerando, não o procedimento da predição, mas o procedimento da antecipação. A predição é relativa ao valor que será assumido num momento dado por uma certa grandeza, no curso de um processo conhecido. A antecipação sugere observações a se fazer a respeito de processos ainda não localizados ou, em todo caso, insuficientemente conhecidos. Podemos também invocar o procedimento explicativo e tentar apreciar a capacidade do modelo de reconstituir o conjunto de um processo já conhecido. Se nos contentarmos com uma retrodição, isto é, com a determinação de uma situação bem precisa num momento dado, encontraremos o mesmo gênero de dificuldades encontradas para a predição. Se examinamos um processo inteiro, por exemplo, uma evolução suficientemente longa de um sistema suficientemente vasto, temos uma situação que se torna bastante análoga à da antecipação.

Utilizando os critérios invocados no contexto da antecipação e da explicação macroscópica, já podemos dispor de uma base de apreciação. Cumpre, no entanto, observar que a eficacidade desses critérios será tanto mais fraca quanto mais imprecisas forem as caracterizações que se puderem dar das situações reais. (É esta, em suma, a dificuldade que se manifesta na célebre cláusula: "dadas as mesmas circunstâncias".) Além disso, esses critérios só têm uma significação local. Eles permitem apreciar o caráter mais ou menos adequado (do ponto de vista do poder preditivo ou retroditivo, ou, o que nos pareceu mais satisfatório, do ponto de vista do poder antecipatório e explicativo) de um modelo num contexto determinado, isto é, relativamente a situações de certo tipo. Ora, é da maior importância precisar qual é o contexto de referência. Os critérios de confirmação, de corroboração e de credibilidade só têm validade, sob a dependência de um outro critério, mais global, que se poderia chamar de critério de pertinência. Antes de procurar submeter um modelo à prova dos fatos, é preciso determinar qual é a ordem de fatos que se pode invocar para submetê-lo à prova, ou, em outras palavras, é preciso determinar sua área de pertinência. A área de pertinência de um modelo é o conjunto das situações nas quais ele pode funcionar, isto é, a propósito das quais podemos colocar problemas de confirmação, de corroboração ou de credibilidade, que podem dar lugar a confirmações, a refutações, a antecipações ou a reconstruções explicativas. Essa área é determinada pelo conteúdo das hipóteses de base, que servem para caracterizar o modelo. Essas hipóteses introduzem uni certo número de condições restritivas, que fixam o domínio no interior do qual o modelo pode ser utilizado.

O que pode ser enganoso no manejo dos modelos é o fato de podermos fazer funcionar um modelo fora de sua área de pertinência. Ora, essa pode ser muito estreita. E como as situações reais não podem, em geral, ser caracterizadas de maneira muito precisa (como já observamos), nem sempre nos daremos facilmente conta de que na realidade nos encontramos fora da área de pertinência.

Poderíamos propor que se definisse a adequação de um modelo por meio de dois critérios, situados em níveis diferentes: primeiramente, em função da extensão de sua área de pertinência, em seguida, relativamente ao critério precedente, em termos de uma medida tal como a medida de credibilidade.

Mas é preciso se dar conta de que essa questão de pertinência não pode ser tratada na linguagem do modelo. Se a área de pertinência está, afinal, predeterminada pelas hipóteses que estão na base do modelo, ela deve poder ser descrita em termos que se aplicam diretamente à realidade concreta. Logo, será preciso introduzir as interpretações naturais. Logo, estas terão um papel a desempenhar na apreciação do modelo, não na medida em que forneceriam um domínio de referência último, mas na medida em que devem contribuir para a determinação do contexto no qual o modelo pode operar. Se assim é, é porque, mais uma vez, as matemáticas estão apenas em curso de elaboração. Como não temos um conhecimento completo das formas matemáticas, não podemos proceder inteiramente a priori. Faz-se necessário, pois, um vaivém entre o modelo e a interpretação natural. A linguagem do modelo enriquece nosso conhecimento do real, mas o exame de sua validade recorre necessariamente a uma linguagem não formalizada, àquilo a que se poderia chamar, por oposição à construção científica, uma linguagem preliminar.

Esse reparo leva-nos a colocarmos uma derradeira questão, a dos limites da modelização. Haverá tais limites? E será que podemos fixá-los a priori? Poderíamos invocar aqui a distinção do existencial e do formal, ou ainda a da linguagem da significação e da linguagem da estrutura. Se falamos, por exemplo, em sistemas e relações inter-sistêmicas, nós nos movemos na linguagem da estrutura. Mas se falamos, como o faz A. Tourraine, em criatividade e em controle, nos movemos na linguagem da significação. Se as matemáticas são da ordem da forma, elas nos permitem explicar, muito mais adequadamente do que qualquer outra linguagem, o que pode se exprimir em termos de estrutura. Sua fecundidade lhes advém do fato de operarem no vazio, no espaço da imaginação transcendental, ao nível dos esquemas puros, num domínio que está imunizado, se assim se pode dizer, às significações. Mas será que estas são redutíveis às formas, ou será que constituem, na experiência, uma espécie de núcleo irredutível, opaco, invencível à análise formalizante? E seria preciso chegar ao ponto de dizer que verdadeira compreensão exige uma volta da forma para a significação?

Sem dúvida, as interpretações naturais jamais serão suprimidas, pois de fato devemos nos apoiar nelas para construir representações formalizadas. Nessa medida, jamais poderemos dispensar de todo a linguagem da significação. Mas, de fato, sob um outro aspecto, parece que a meta da ciência consiste em elaborar uma linguagem que escape ao efeito inevitável de relatividade introduzido por uma linguagem de significação. é possível que não se possa, nem ao nível da determinação das áreas de pertinência, nem ao nível da comprovação, esquecer inteiramente o domínio das significações. O esforço racional, em todo caso, consiste em construir interpretações que se tornem cada vez mais independentes com relação ao existencial, que se tornem cada vez mais capazes de se comprovarem nos termos de sua própria linguagem. A matematização é o grande meio dessa elaboração, o que é muito explicável, posto que a própria matemática pode ser descrita como o processo de autonomização da forma. Se há um limite, não vemos o que permitiria considerá-lo como absoluto. Ele é sempre movediço e relativo.

O verdadeiro limite não é uma espécie de fronteira que pudéssemos traçar de antemão, ele se mostra num devir; é a emergência do fim. Se o fim’ representa um limite, é porque ele é inteiramente da ordem da significação. Ele pode ser revelado indiretamente por critérios formais (tais como critérios de adaptação, de utilidade, de maximização, de eficacidade, de invariância, etc.) mas, como tal, não pode identificar-se a nenhum critério. O próprio da finalidade está, de algum modo, em sempre se furtar à imposição de uma forma. Ela é um horizonte.

Somos assim levados, neste ponto, a confrontar dois horizontes: o da matematização e o da finalidade. Será que se trata de dois horizontes totalmente exteriores um ao outro? Não haveria uma secreta presença da finalidade no próprio horizonte da formalidade? O que dizer das relações do lógico e do existencial? Será que a forma pode ser sem seu suporte? Será que o lógico pode ser sem a existência? Mas não haveria, na existência, por assim dizer, algo mais que o lógico? Algo mais que talvez seja preciso tentar dizer numa linguagem que não poderá pretender à cientificidade, mas que nada tira à legitimidade da ciência e à exigência que a define e lhe prescreve igualar-se à amplitude do lógico.

A matemática constitui, sem dúvida, tão-somente um momento da processão. Por si mesma, ela ainda não diz o que possibilita a captura da forma na concretude do existente. A essência não é o último fundamento. Mas, se a matematização não é a palavra final do ser, nem a última palavra sobre o ser, ela nos abre em todo caso uma região de transparência com a qual o espírito humano está como que naturalmente harmonizado. Ele não pode renunciar à sua clareza sem pôr em perigo sua própria vocação.